Assignment3

下面列表顯示X和Y的聯合機率分配…

此題運用到了matrix型態與apply函式，建議先將R2-基本資料型態中的matrix複習一遍。 a.決定X和Y的邊際分配。

p.xy <- matrix(c(0.42,0.28,0.12,0.08,0.06,0.04),ncol = 3) #建立X,Y聯合機率分配
p.x <- apply(p.xy,2,sum)                        #利用apply函式對於每一行做連加(X邊際分配)
p.y <- apply(p.xy,1,sum)                        #利用apply函式對於每一列做連加(Y邊際分配)
p.x                                             #顯示p.x內容(X邊際分配)

## [1] 0.7 0.2 0.1

p.y                                             #顯示p.y內容(Y邊際分配)

## [1] 0.6 0.4

b.計算X和Y之間的共變異數(covariance)和相關係數(correlation)。 其中r語言中用來計算此兩種數值分別利用cov()與cor()，但計算出來結果是matrix型態 所以必需利用det()函式計算matrix值

cov.p.xy <- cov(p.xy)  #計算p.x共變異數(矩陣型態)
det(cov.p.xy)          #利用det計算矩陣值

## [1] 0

cor.p.xy <- cor(p.xy)  #計算p.x和相關係數(矩陣型態)
det(cor.p.xy)          #利用det計算矩陣值

## [1] 0

根據美國的牙科美容學院，75%的成人認為不具吸引力的微笑會傷害事業上的成功。假設隨機選取25位成人。15人或更多人會同意這項聲明的機率為何？

根據題意75%定義為成功，可以此題為成功與失敗問題即為離散型中的二項分配(binomial) 並隨機選取25人(參數n為25)，15人或更多人會同意這項聲明的機率為何？，讀完題意並且 利用二項分配的相關函式來做計算。

先運用binomial第一種函式dbinom()分別算出各離散機率，再將其加種

p.smile <-dbinom(15:25,25,0.75)    #計算15到25每個點的離散機率函數
plot(15:25,                        #x軸範圍
     p.smile,                      #資料來自p.smile
     pch=19,                       #點的樣式
     main = "Binomial")            #設定Binomial為標題

sum(p.smile)

## [1] 0.9703301

也可以利用binomial另一種函式pbinom()累積機率函式，先計算到14人的機率，再利用1減去

p2.smile <-pbinom(14,25,0.75)     #累積0到14每個點的離散機率函數
1-p2.smile                        #1減去p2.smile

## [1] 0.9703301

在明尼蘇達州的一個城市，冬天下雪是隨機且獨立地發生的。平均每3天就下一次雪。

冬天下雪是隨機且獨立發生，可以到每次下雪皆不相關，平均每三天就下雪一次，間隔時間內發生定義下雪這個事件，所以利用卜瓦松分配(poisson)來計算此問題，在此分配需要對應好每小題的參數，每三天就下雪 一次，若以一天就是下1/3次雪。

a.在2週之內會下5天雪的機率為何？

先把時間對應到兩周，所以一天1/3雪，2週等於14天，所以14天即為14*1/3等於14/3次雪 最後利用卜瓦松函式來計算，第一小題利用dpois()算出發生下5天雪比較合適

p.snow <-dpois(0:14,14/3)     #計算0到14每個點的離散機率函數
plot(0:14,                    ##x軸範圍
     p.snow,                  #資料來自p.snow
     pch=19,                  #點的樣式
     main = "Poisson")        #設定Poisson為標題

dpois(5,14/3)                 #計算poisson(參數14/3)發生下5天雪機率

## [1] 0.1734383

b.求出今天會下雪的機率

此小題並沒有仔細說明參數為三天下一次雪，或延續第二小題兩週內的時間條件 那分別計算出兩種參數機率，因題意不清楚，所以此題兩種答案都正確。

dpois(1,14/3)    #計算poisson(參數14/3)今天下雪機率

## [1] 0.04388329

dpois(1,1/3)     #計算poisson(參數14/3)今天下雪機率

## [1] 0.2388438

據說病毒感冒患者會經歷7天的症狀。然而，時間量實際上是一個常態分配的隨機變數，其平均值為7.5天，其標準差為1.2天。

題目以完整說明常態分配，且也把參數平均值(7.5天)與標準差(1.2天)清楚說明

a.一位感冒患者會經歷少於4天症狀的機率為何？ b.一位感冒患者會經歷7天至10天之間感冒症狀的機率為何？

由於常態分配(normal distribution)屬於連續型分配，所以這裡開始必須利用累積函式進行運算

pnorm(4)               #若沒有給予參數內建平均數為0，標準差為1的標準常態

## [1] 0.9999683

z.score <- (4-7.5)/1.2 #標準化z值
pnorm(z.score)         #累積到z.score的標準常態

## [1] 0.001768968

pnorm(4,               #累積到4的常態分配
      mean = 7.5,      #平均數為7.5
      sd = 1.2)        #標準差為1.2

## [1] 0.001768968

pnorm(10,7.5,1.2)-pnorm(7,7.5,1.2)  #累積7到10的常態分配(平均數為7.5，標準差為1.2)

## [1] 0.6429285

一家麵包店每天烘烤有名的大理石裸麥麵包。一份統計調查顯示顧客每天的需求量服從一個具有平均數850 與標準差90 的常態分配。如果麵包店希望任何一天缺貨的機率是不會超過30%，麵包店應該烘烤多少條麵包？

此題也是常態分配問題，較困難的為解釋任何一天缺貨的機率是不會超過30%，先回顧題意定義需求服從常態 所以缺貨就是需求不滿足，可以將其理解為右尾面積，但累積機率左尾開始累積，所以缺貨不超過30% 右尾面積0.3對應左尾面積即為1-0.3等於0.7。本來是不超過所以需求滿足機率需要大於70%。 運用累積機率函數的反函數qnorm()可以算出其需求

qnorm(0.7,850,90)  # 累積到0.7機率(左尾開始累積)時對應其需求

## [1] 897.196

所以可以知道當需求大於898條麵包，缺貨機率不會超過30%(需求大於70%)

當卡車到達大使橋，每部車必須由海關人員進行檢查。時間是以每小時10部車服務率的指數分配。一部卡車需要超過15分鐘檢查的機率為何？

題目為指數分配問題，且以每小時10部車服務率，先將參數定義為10(car/hour)，但題意又問15分鐘檢查的機率，所以轉換成為10/60=0.167(car/min)，再運用指數分配函式運算

1-pexp(15,10/60)       #計算累計到15分鐘機率，再運用1減去     

## [1] 0.082085