R Notebook

Problema 6

Considere las siguientes 12 observaciones de las variables \(x\) e \(y\) : \[\begin{array}{|c|cccccccccccc|} \hline x & 9 & 12 & 12 & 15 & 18 & 18 & 21 & 21 & 27 & 30 & 30 & 33 \\ \hline y & 11 & 12 & 23 & 30 & 29 & 52 & 41 & 65 & 60 & 72 & 84 & 93 \\ \hline \end{array} \]

1. ¿Por qué no es determinística la relación entre x e y?

2. ¿El gráfico de dispersión sugiere que el modelo de regresión lineal simple describirá la relación entre las dos variables?

3. Determine la ecuación de la recta de mínimos cuadrados.

4. ¿Qué proporción de la variación de y observada puede explicarse por la relación aproximadamente lineal entre las dos variables.

5. Estime con una confianza de 95% el verdadero valor de la ordenada al origen de la recta de regresión.

Solución

Sumas en x:

x <- c(9, 12, 12, 15, 18, 18, 21, 21, 27, 30, 30, 33)
y <- c(11, 12, 23, 30, 29, 52, 41, 65, 60, 72, 84, 93)
sum(x)

[1] 246

sum(x^2)

[1] 5742

\[ \sum x = 246 \qquad \sum x^2 = 5742 \] Sumas en y:

sum(y)

[1] 572

sum(y^2)

[1] 35634

\[ \sum y = 572 \qquad \sum y^2= 35634\] Suma en \(xy\)

sum(x*y)

[1] 14022

\[ \sum xy = 14022 \]

1. ¿Por qué no es deterministica la relación entre \(x\) e \(y\)?

Porque \(x_2 = x_3 = 12\) pero \(y_2 \neq y_3\)

2. ¿El gráfico de dispersión sugiere que el modelo de regresión lineal simple describirá la relación entre las dos variables?

plot(x,y)

Si.

3. Determine la ecuación de la recta de mínimos cuadrados. \[ SCx = \sum{x^2} - n \cdot \overline{x} \qquad SCy = \sum y^2 - n \cdot y^2 \] \[ SPxy = \sum{x y} - n \cdot \overline{xy} \]

n <- length(x)
n

[1] 12

SCx <- sum(x^2) - n * mean(x)^2
SCx

[1] 699

SCy <- sum(y^2) - n * mean(y)^2
SCy

[1] 8368.667

SPxy <- sum(x*y) - n * mean(x) * mean(y)
SPxy

[1] 2296

\[ n=12 \qquad SCx = 699 \qquad SCy = 8368,667 \qquad SPxy = 2296 \] Calculamos \(b_1\) y \(b_0\) \[ b_1 = \frac{SPxy}{SCx} \qquad b_0 = \overline{y} - b_1 \overline{x} \]

b1 <- SPxy / SCx
b0 <- mean(y) - b1 * mean(x)

b1

[1] 3.284692

b0

[1] -19.66953

\[ y = b_0 + b_1 x \] \[ y = -19,66953 + 3,284692 x \] d) ¿Qué proporción de la variación de \(y\) observada puede explicarse por la relación aproximadamente lineal entre las dos variables? \[ R^2 = \frac{b_1^2 SCx}{SCy} \]

R2 <- b1^2 * SCx / SCy
R2

[1] 0.9011775

\[ R^2 = 0,90 \quad \Rightarrow 90\% \] d) Estime con una confianza de 95% el verdadero valor de la ordenada al origen de la recta de regresión. \[ \varepsilon = 1 - 0,95 = 0,05 \quad \Rightarrow \; 1 - \varepsilon/2 = 0,975 \qquad gl=10 \] Calculamos una t-Student 0,975 con gl=10

ts <- qt(0.975, df = 10)
ts

[1] 2.228139

\[ S_e^2 = \frac{SCy - b_1^2 SCx}{n-2} \]

Se2 <- (SCy - b1^2 * SCx)/(n-2)
Se2

[1] 82.70129

\[ \hat{V}(b_0) = S_e^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{\overline{x}^2}{SCx} \right) \]

Vb0 <- Se2 * (1/n + (mean(x)^2) / SCx)
Vb0

[1] 56.61311

\[ b_0 \pm t_{(n-2)} \cdot \sqrt{\hat{V}(b_0)} \]

Li <- b0 - ts * sqrt(Vb0)
Ls <- b0 + ts * sqrt(Vb0)
I <- c(Li, Ls)
I

[1] -36.434420  -2.904636

\[ \beta_0 \in [-36.434420 ; -2.904636] \]

plot(x,y)
regresion <- lm(y~x)
abline(regresion)

grid()

summary(regresion)

Call:
lm(formula = y ~ x)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-10.4549  -7.8873   0.7532   4.4882  15.6910 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -19.669      7.524  -2.614   0.0259 *  
x              3.285      0.344   9.549 2.42e-06 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 9.094 on 10 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9012,    Adjusted R-squared:  0.8913 
F-statistic: 91.19 on 1 and 10 DF,  p-value: 2.421e-06