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Regresion lineal con R

Se sabe que las tasas de interés (x) son indicadores clave para predecir el número de construcciones (y). Considere los siguientes datos de los valores de tasas de interés en hipotecas y el registro de nuevas construcciones iniciadas entre 1969 y 1976. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mbox{Año} & 1969 & 1970 & 1971 & 1972 & 1973 & 1974 & 1975 & 1976 \\ \hline \mbox{Tasas} & 6,5 & 6,0 & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 & 10,0 & 9,0 \\ \hline \mbox{Permisos} & 2165 & 2984 & 2780 & 1940 & 1750 & 1535 & 962 & 1310 \\ \hline \end{array} \] a) Trace un diagrama de dispersión de los datos y comente las propiedades del mismo.

X <- c(6.5, 6.0, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.0, 9.0)
Y <- c(2165, 2984, 2780, 1940, 1750, 1535, 962, 1310)
n <- length(X)
plot(X,Y, xlab = "Tasa de interés", ylab = "Permisos de construcción", main = "Diagrama de dispersión")

2. Estime los parámetros de la recta de regresión.

n <- length(X)
n

[1] 8

Entonces \(n=8\)

Sumas:

sum(X)

[1] 63.5

\[ \sum x = 63,5 \]

sum(X^2)

[1] 520.25

\[ \sum x^2 = 520,25 \]

sum(Y)

[1] 15426

\[ \sum y = 15426 \]

sum(Y^2)

[1] 33143750

\[ \sum y^2 = 33143750 \]

sum(X*Y)

[1] 115464

\[ \sum x y = 115464 \] Calculamos:

SCx <- sum(X^2) - n * mean(X)^2
SCx

[1] 16.21875

\[ SCx = \sum x^2 - n \overline{x} = 16,21875 \]

SCy <- sum( ( Y - mean(Y))^2 )
SCy

[1] 3398566

\[ SCy = \sum y^2 - n \overline{y} = 3398566 \]

SPxy <- sum( (X - mean(X))*(Y - mean(Y)) )
SPxy

[1] -6979.875

\[ SPxy = \sum xy - n \overline{xy} = -6979,875 \]

b1 <- SPxy / SCx
b1

[1] -430.3584

\[ b_1 = \frac{SPxy}{SCx} = -430,3584 \]

b0 <- mean(Y) - b1 * mean(X)
b0

[1] 5344.22

\[ b_0 = \overline{y} - b_1 \overline{x} = 5344,22 \] Entonces la recta de regresión es: \[ y = 5344,22 - 430,36 x\] También podemos hacer que el programa lo calcule:

dispersion <- lm(Y~X)
summary(dispersion)

Call:
lm(formula = Y ~ X)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-381.9 -164.9   -7.4 1  279.2 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  5344.22     513.59  10.406 4.62e-05 ***
X            -430.36      63.69  -6.757 0.000513 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 256.5 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8839,    Adjusted R-squared:  0.8645 
F-statistic: 45.66 on 1 and 6 DF,  p-value: 0.0005125

3. Calcule el coeficiente de correlación muestral.

r <- SPxy / sqrt(SCx * SCy)
r

[1] -0.940137

\[ r = \frac{SPxy}{\sqrt{SCx \cdot SCy}} \approx -0,94 \] d) Si los indicadores económicos indican que la tasa de interés para hipotecas será del 8,5% el año próximo, pronostique el número de licencias de construcción que se otorgarán durante el año entrante mediante un intervalo de confianza de 90% \[ \varepsilon = 1 - 0,90 = 0,10 \qquad 1 - \frac{\varepsilon}{2} = 0,95 \qquad gl=8-2=6 \] Calculamos una t-Student 0,95 y 6 grados de libertad

ts <- qt(1-0.1/2, df = 8 - 2)
ts

[1] 1.94318

\[ \Rightarrow t = 1,94318 \]

Se2 <- (SCy - b1^2 * SCx) / (n-2)
Se2

[1] 65786.3

\[ S_e^2 = \frac{SCy - b_1 SCx}{n-2} = 65786,3 \]

x <- 8.5
Vy <- Se2 * (1 + 1/n + (x - mean(X))^2 / SCx)
Vy

[1] 75292.99

\[ \hat{V}(\hat{y}(8,5)) = S_e^2 \left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{(x-\overline{x})^2}{SCx} \right) = 75292,99\]

Yx <- b0 + b1*x
Li <- Yx - ts*sqrt(Vy)
Ls <- Yx + ts*sqrt(Vy)
L <- c(Li, Ls)
L

[1] 1152.973 2219.374

\[ \mbox{intervalo} = y(x) \pm t \cdot \sqrt{\hat{V}(\hat{y}(x))} \] El intervalo en \(y(8,5)\) es \([1152,973;2219,374]\)

plot(X,Y, xlab = "Tasa de interés", ylab = "Permisos de construcción", main = "Recta de regresión")
abline(dispersion)

grid()