Dans une partie, K joueurs jettent chacun une pièce de monnaie (k >= 3). Un joueur gagne une partie si son tirage est différent de celui de tous les autres joueurs.

1. Proposer un modèle de cette situation

On prend comme variable aléatoire Xi le lancer du joueur i, Xi suit une loi binomiale (K,1/2). Omega = {Pile, Face} Le joueur i est gagnant si quelque soit Xj (j != i) Xj != Xi. Le joueur i est perdant si il existe un j != i tel que Xj = Xi (si deux joueurs font pile par exemple)

2. Calculer la probabilité Pk que la partie ait un gagnant

La partie comporte un gagnant si une unique pièce a un résultat différent de tous les autres. Pk est donc la probabilité que pile ou face n’apparaisse qu’une fois dans le résultat du jeu. La partie ne comporte pas de gagnant si tout le monde obtient le même résultat ou si au moins deux joueurs font pile et au moins deux joueurs font face (pour K >= 4).

Ptout_le_monde_fait_pareil = 2/2^K

P2_pile_2_face = P(Npile >= 2 & Nface >= 2)

            = P(Npile >= 2) * P(Nface >= 2)
            = (1-P(Npile < 2)) * (1-P(Nface < 2)) 
            = (1 - (1/2)^K - K/(2^K))^2

Donc Pk = 1 - Ptout_le_monde_fait_pareil - P2_pile_2_face

3. Ecrire un programme R qui génère un echantillon de N parties

genere_partie = function(N=1000, K=5){
  cpt1 = 0
  cpt2 = 0
  cptvictoires = 0
  for(i in 1:N){
    tab = sample(1:2,K,replace = T)
    for(j in 1:K){
      if(tab[j] == 1){
        cpt1 = cpt1 + 1
      }
      else{
        cpt2 = cpt2 + 1
      }
    }
    if((cpt1 == 1 && cpt2 != 0) || (cpt2 == 1 && cpt1 != 0)){
      cptvictoires = cptvictoires+1;
    }
    cpt1 = 0
    cpt2 = 0
  }
  print(cptvictoires/N)
}
genere_partie(1000,5)
## [1] 0.315

4. On note Tk le nombre de parties nécessaires pour avoir un gagnant. Calculer la loi de Tk et donner sa moyenne

Soit X la variable aléatoire associée au nombre de parties à faire pour avoir un gagnant. Ici on cherche la probabilité associée a chacun des cas. Tk = 1 2 3 4 …

P(X=Tk)

P(X=1) = 2 / 2^K (2 cas favorables (1 pile et le reste face ou inversement) sur 2^K cas possibles)

P(X=2) = (1-2/(2^K)) * (2 / 2^K)

P(X=Tk) = (1-2/( 2^K ))^(Tk-1) * (2 / 2^K)

Moyenne: aucune idée, normalement faudrait multiplier chaque Tk par P(X=Tk) genre 1P(X=1)+2P(X=2)+… Mais y a pas de fin à cette somme donc soit j’ai mal compris la question soit j’ai mal énoncé la loi de Tk

5. Que pensez vous de ce jeu ?

La probabilité d’avoir un gagnant n’est pas très haute rien que pour le nombre de joueur minimal et empire lorsque l’on rajoute des joueurs. Ce jeu ne va pas être très amusant puisqu’il consistera à lancer des pièces en boucle lors d’une seule partie jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant.