LA COTA DEL PERDON: A a la B, B a la A o A/9(1.Eb - 1)?

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URL: http://rpubs.com/acasares/perdonv2

• Hallar la suma de \( n \) terminos de la secuencia \( \{\mathcal{N}_i\} \)

• \[ S_n = \sum_{i=1}^{n}\mathcal{N}_i = \sum_{i=1}^{n} \big( \frac{7}{9}\times (10^{i} - 1) \big) = \frac{7}{9}\Big(\sum_{i=1}^{n} 10^i -n \Big) \]

• La suma \( T_i = \sum_{i=1}^{n} 10^i \) corresponde a una progresion geometrica con \( a = 10 \), \( r = 10 \), \( l = 10^n \).

• Aplicando otra vez la formula \( \frac{l \times r - a}{r - 1} \): \[ T_i = \frac{10^{n+1}-10}{9} \] Finalmente: \[ S_n = \frac{7}{9} \big(\frac{10^{n+1}-10}{9} - n \big) = \frac{7}{81}(10^{n+1}-9n-10) \]

• Averiguar cual es mayor entre \( a^b \) y \( b^a \)

• Regla para dos reales positivos cualesquiera, a y b

• No siempre se da que \( a < b \Rightarrow a^b > b^a \) Ejemplos: \( 1^b < b^1 \quad \forall_{b>1}, \)
  \( \quad \quad \quad \quad 2^3 < 3^2 \) aunque \( 2<3 \).

• Para el analisis he usado MATLAB, a partir de un planteamiento matematico sencillo.

• Delimitar el 1er cuadrante por zonas segun la potencia dominante.

• Un modelo matematico mas potente puede ampliar la perspectiva.

• El objetivo es dividir el plano coordenado en zonas segun la potencia predominante en cada una (\( a^b \) o \( b^a \)). Las zonas estaran delimitadas por una ecuacion en dos variables \( F(x,y) = 0 \), cuyo grafico debemos trazar.

• La funcion obvia seria \( W = F(x,y) = x^y - y^x \). Es una superficie tridimensional, con \( W \) igual a la cota sobre el plano base \( W = 0 \). Buscamos graficar la curva de nivel 0 de esa superficie, que puede ser trazada a partir de ese concepto.

• Cuando se trata de hallar las raices complejas de una ecuacion general \( G(z) = 0 \), donde \( z \in \mathbb{C} \), es fructifera la tecnica de separacion de \( G(z) \) en sus partes real \( u \) e imaginaria \( v \). Luego, por diversos metodos, se pueden hallar las intersecciones de \( u = 0 \) y \( v = 0 \), que dan las raices de la ecuacion global.

• Para poder usar este enfoque en el contexto que nos ocupa, definimos la variable compleja \( z = x + yi \) y la funcion compleja \( W(z) = real(z)^{imag(z)} - imag(z)^{real(z)} \), equivalente a nuestra \( F(x,y) \). Entonces \( W(z) = u(x,y) + i.v(x,y) \).

• Nuestra ecuacion seria ahora un sistema de dos ecuaciones no lineales \( u(x,y) = 0; \quad v(x,y) = 0 \). Mas que resolver este sistema nos interesa la forma de estas dos curvas, y particularmente de la parte real: \( u(x,y) = 0 \).

• (Ref: http://rpubs.com/acasares/238515)

• Usemos una funcion parametrica unidimensional. Permite mayor control del proceso.

• Podria ser \( g_a(x) = x^a - a^x \), donde el parametro a y la variable x son los dos numeros. Pero todavia con el inconveniente de los valores muy grandes.

• Usando logaritmos naturales se puede transformarla en \( f_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} - \frac{x}{a} \quad , a \neq 0, \quad x > 0 \)

• La derivada \( \frac{df_a}{dx} = \frac{1}{x \times ln(a)} - \frac{1}{a} \) se anula en un punto maximo, de ordenada no negativa para (a,x) > 1: \( P \leftrightarrow (\frac{a}{ln(a)},\frac{ln(a) - ln(ln(a)) - 1}{ln(a)}) \)

• Finalmente separemosla en dos funciones: \( f_{1a}(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \quad , a \neq 1 \quad \;Y \quad f_{2a}(x) = \frac{x}{a} \quad \quad , a \neq 0 \). Entonces \( f_{a}(x) = f_{1a}(x)-f_{2a}(x) \)

• Aunque graficable directamente, es mas instructivo representar y utilizar separadamente a sus dos componentes.

• Escogemos un dominio de analisis. Es decir, un conjunto de valores de a > 1. Para cada a y su curva \( f_a(x) \) queremos calcular la x no trivial que la anula. Es decir, la \( x \neq a \) que cumple \( a \times ln(x) - x \times ln(a) = 0 \)

• Si tuvieramos una funcion explicita x = h(a), encontrar x requeriria hacer las operaciones determinadas por la formula de h. Pero lo que tenemos es una funcion implicita en la forma de la ecuacion \( f_a(x) = 0 \): ahora debemos hacer las operaciones requeridas para resolverla y encontrar asi \( x \). De modo que en ambos casos aplicamos un algoritmo de evaluacion, que en el nuestro es iterativo.

• En una funcion de forma tan regular como la de \( f_a(x) \) el bien conocido algoritmo numerico de Newton, de velocidad cuadratica ademas, resulta conveniente.

• Hay que partir de una aproximacion inicial \( x_0 \) cercana al extremo diferente de a. Si no, llegaremos en cambio al valor de a, ya conocido. Para esto hay que conocer el punto de inversion.

• En el algoritmo se debe tomar en cuenta el caso especial de una raiz doble. Es decir, que los dos extremos coincidan. En nuestro problema eso si sucede en un determinado punto.

• Valores de a cercanos a uno daran valores de raiz altos y asintoticos (ver siguiente diapositiva).

• En los dos casos de la Figura 1 ya observamos que el extremo diferente esta a la derecha de a cuando a = 2, y a su izquierda cuando a = 7. De modo que al pasar de 2 a 7 se ha invertido la posicion relativa de los extremos. Por consideraciones de continuidad podemos presumir que hay un valor intermedio de a para el cual los dos extremos coinciden, y una curva \( f_{1a}(x) \) que es tangente a la recta \( f_{2a}(x) \).

• Ese punto de tangencia es lo que llamo punto de inversion puesto que al pasar por el se invierte la posicion de los extremos. Corresponde tambien al caso en que la raiz buscada usando Newton es raiz doble, es decir, los dos extremos coinciden en el mismo punto.

• En terminos matematicos, la raiz doble de una ecuacion se caracteriza por ser cero simple de la derivada de la funcion. En el caso que nos ocupa, anulara la derivada \( \frac{df_a}{dx} = \frac{1}{x \times ln(a)} - \frac{1}{a} \), lo cual ya vimos que se da en \( x = \frac{a}{ln(a)} \).

• Puesto que son iguales los dos extremos, y uno de ellos es siempre a, tenemos que \( a = \frac{a}{ln(a)} \), de donde \( a = e \), y el punto de inversion es \( (e,e) \). En la figura 4 se verifica numericamente que las coordenadas del punto donde los extremos se invierten coinciden con lo calculado.