Executions Log
ENACOM
17/10/2017
Introdução
Este relatório apresenta um breve estudo estatístico sobre métodos de inicialização de Cluster. O banco de dados apresenta como variável de interesse o tempo total, dado como a soma do tempo de preparação, do tempo de computação e do tempo de inicialização para cada método. O dataset também apresenta variáveis que serão tratadas como variáveis categóricas, que dizem respeito ao número de observaçaões, de dimensões, de partições, de GPUs e o método de inicialização utilizado. O objetivo principal consiste em analisar quais destas váriaveis apresentam impacto significativo no tempo total de cada execução.
Gráficos do Tempo
Para uma análise visual preliminar do tempo total de execução para os casos em estudos, agrupados em variáveis categóricas, alguns gráficos foram gerados. Devido à grande amplitude que abrange os valores do tempo, foi utilizado o log do Tempo com a intenção de proporcionar uma melhor visualização.
Boxplots Agrupados pelo Número de GPUs
Boxplots Para cada Método de Inicialização
Mountain Plots
Mountain Plots são gráficos que apresentam a função de distribuição acumulada da variável de uma forma “dobrada”. Note que o eixo y à esquerda apresenta os valores até 0.5 e à direita valores de 0.6 a 1. Logo, até o ponto máximo de crescimento, analisa-se pelo eixo y à esquerda e após isso pelo lado direito deste eixo.
## Picking joint bandwidth of 0.106
## Picking joint bandwidth of 0.122
## Picking joint bandwidth of 0.27
## Picking joint bandwidth of 0.261
## Picking joint bandwidth of 0.203
ANOVA
Como análise preliminar, ajustou-se um modelo de regressão simples e realizou-se uma análise de variância (ANOVA) para determinar as variáveis significativas, conforme apresentado abaixo.
##
## Call:
## lm(formula = TotalTime ~ method_name + K + num_GPUs + n_dim +
## n_obs, data = dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -62.790 -7.475 -0.068 5.807 200.366
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4.9010 1.0161 -4.823 1.43e-06 ***
## method_namedistributedKMeans 32.3762 0.4146 78.098 < 2e-16 ***
## K3 0.9717 0.7649 1.270 0.20400
## K4 2.0210 0.7649 2.642 0.00825 **
## K5 3.0630 0.7652 4.003 6.30e-05 ***
## K6 3.8287 0.7673 4.990 6.16e-07 ***
## K7 4.3996 0.7693 5.719 1.10e-08 ***
## K8 5.1280 0.7721 6.642 3.27e-11 ***
## K9 6.1421 0.7753 7.922 2.59e-15 ***
## K10 7.0849 0.7768 9.121 < 2e-16 ***
## K11 7.4807 0.7798 9.593 < 2e-16 ***
## K12 8.2986 0.7823 10.607 < 2e-16 ***
## K13 9.0349 0.7843 11.520 < 2e-16 ***
## K14 9.4693 0.7869 12.034 < 2e-16 ***
## K15 10.3059 0.7892 13.058 < 2e-16 ***
## num_GPUs4 -6.1942 0.4298 -14.413 < 2e-16 ***
## num_GPUs6 -8.6865 0.4284 -20.278 < 2e-16 ***
## num_GPUs8 -9.7093 0.4283 -22.668 < 2e-16 ***
## n_dim3 5.4207 0.7216 7.512 6.36e-14 ***
## n_dim4 7.5656 0.7573 9.990 < 2e-16 ***
## n_dim5 9.0079 0.7591 11.867 < 2e-16 ***
## n_dim6 10.7478 0.7702 13.954 < 2e-16 ***
## n_dim7 12.9613 0.7836 16.541 < 2e-16 ***
## n_dim8 12.3905 0.8223 15.069 < 2e-16 ***
## n_dim9 13.6080 0.8236 16.522 < 2e-16 ***
## n_dim10 14.7798 0.8405 17.584 < 2e-16 ***
## n_dim11 16.1317 0.8571 18.821 < 2e-16 ***
## n_dim12 17.1424 0.8957 19.139 < 2e-16 ***
## n_dim13 18.6475 0.8998 20.723 < 2e-16 ***
## n_dim14 19.3904 0.9027 21.481 < 2e-16 ***
## n_dim15 20.7404 0.9062 22.886 < 2e-16 ***
## n_dim16 18.7452 0.9814 19.100 < 2e-16 ***
## n_dim17 19.7863 0.9825 20.139 < 2e-16 ***
## n_dim18 20.3161 0.9846 20.634 < 2e-16 ***
## n_dim19 21.1171 0.9846 21.447 < 2e-16 ***
## n_dim20 21.2923 0.9868 21.578 < 2e-16 ***
## n_obs262144 -5.2210 0.8276 -6.309 2.94e-10 ***
## n_obs524288 -4.6249 0.8276 -5.588 2.35e-08 ***
## n_obs1048576 0.1574 0.9164 0.172 0.86359
## n_obs2097152 -1.1013 0.8276 -1.331 0.18332
## n_obs4194304 -0.1844 0.8023 -0.230 0.81825
## n_obs8388608 6.2762 0.7967 7.877 3.71e-15 ***
## n_obs16777216 25.9337 0.8177 31.716 < 2e-16 ***
## n_obs33554432 51.3045 0.9358 54.827 < 2e-16 ***
## n_obs67108864 86.9081 1.3231 65.683 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 14.59 on 9683 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7569, Adjusted R-squared: 0.7558
## F-statistic: 685.3 on 44 and 9683 DF, p-value: < 2.2e-16## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## method_name 1 3722968 3722968 17480.38 <2e-16 ***
## K 13 50972 3921 18.41 <2e-16 ***
## num_GPUs 3 52907 17636 82.80 <2e-16 ***
## n_dim 18 51951 2886 13.55 <2e-16 ***
## n_obs 9 2542810 282534 1326.58 <2e-16 ***
## Residuals 9683 2062283 213
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Nota-se que, a um nível de significância de 5%, todas as variáveis aparentam influenciar no tempo total de execução. Devemos buscar então pela existência de interação entre as variáveis para que isso possa ser levado em conta no modelo.
Interações
Os gráficos abaixo são conhecidos como gráficos de interação e são responsáveis por apontar a existência de uma relação não aditiva entre as variáveis. Gráficos com linhas que apresentem espaçamentos contínuos ou com pouca variação indicam que as variáveis em questão não apresentam indicativo de interação.
Como notamos nos gráficos a cima, é possível que haja a existência de uma interação significativa entre as variáveis method_name (método de inicizalização utilizado) com todas as outras (K, n_obs, n_dim e num_GPUs). Inclui-se então, estas interações no modelo anterior para verificar sua significância.
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## method_name 1 3722968 3722968 49180.58 < 2e-16 ***
## num_GPUs 3 47828 15943 210.60 < 2e-16 ***
## n_dim 18 50401 2800 36.99 < 2e-16 ***
## n_obs 9 2504645 278294 3676.28 < 2e-16 ***
## K 13 95766 7367 97.31 < 2e-16 ***
## method_name:num_GPUs 3 529348 176449 2330.90 < 2e-16 ***
## method_name:n_dim 18 15843 880 11.63 < 2e-16 ***
## method_name:n_obs 4 779349 194837 2573.81 < 2e-16 ***
## method_name:K 13 7617 586 7.74 1.55e-15 ***
## Residuals 9645 730126 76
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1No modelo notamos que ambas as interações indicadas pelos gráficos foram consideradas significativas. Podemos afirmar então, que todas as variáveis pertencentes ao modelo a cima possuem influência significativa no tempo total de execução. Um problema da ANOVA consiste no fato desta não comparar os diversos níveis de uma variável um a um. Ou seja, uma variável que possua três níveis pode apresentar diferença entre dois níveis específicos e não apresentar diferença significativa entre outros dois níveis. Para isso, utiliza-se o teste de comparações múltiplas de Tukey, que compara os níveis de todas as variáveis categóricas dois a dois, incluindo as interações existentes. Gerou-se uma tabela com os p-valores, bem como com os intervalos de confiança para as diferenças dos níveis das váriaveis categóricas, conforme segue abaixo.
Notamos na tabela a existência de alguns p-valores iguais a 0 ou a 1, isso se deve ao fato de o banco de dados não apresentar observações suficientes de todas as combinações possíveis, oque torna difícil a análise de interações nestes casos. Deve-se então tomar muito cuidado ao realizarmos qualquer conclusão com relações a estas combinações, sendo mais seguro não realizar qualquer afirmação que não seja: “não há dados suficientes para uma conclusão apurada destes casos”.
Teste de Dunn
Além disso, também aplicou-se um outro teste de comparações múltiplas, conhecido como teste de Dunn, para as variáveis num_GPUs (número de GPUs), K (número de partições), num_dim (número de dimensões), num_obs (número de observações). Este é um teste de comparações múltiplas para casos em que se analisa apenas duas variáveis, sendo uma quantitativa e outra categórica com 3 ou mais níveis. Basicamente, é uma comparação múltipla para quando o teste de Kruskall-Wallis aponta que há diferença entre pelo menos dois níveis da variável categórica.
##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: dados$TotalTime by dados$method_name
## Kruskal-Wallis chi-squared = 4095.3, df = 1, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: dados$TotalTime by dados$num_GPUs
## Kruskal-Wallis chi-squared = 171.28, df = 3, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: dados$TotalTime by dados$K
## Kruskal-Wallis chi-squared = 125.01, df = 13, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: dados$TotalTime by dados$n_obs
## Kruskal-Wallis chi-squared = 8058.2, df = 9, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: dados$TotalTime by dados$n_dim
## Kruskal-Wallis chi-squared = 123.07, df = 18, p-value < 2.2e-16Ajustando GLM
Após todos os procedimentos realizados, notamos que o teste de Dunn, bem como o teste de Kruskal-Wallis não acusam diferenças significativas entre os níveis da variável K, enquanto as comparações múltiplas de Tukey acusam que sim. Possivelmente isso se deve ao fato do teste de Tukey estar relacionado à Análise de Variância, que supões distribuição Normal para os dados, enquanto os demais testes são testes não paramétricos. Sendo assim, realizamos o teste de normalidade Anderson-Darling para os dados, onde a hipótese nula é \(H_o = Os \: dados \: seguem \: uma \: distribuição \: Normal.\).
##
## Anderson-Darling normality test
##
## data: dados$TotalTime
## A = 860.79, p-value < 2.2e-16O p-valor retornado pelo teste foi de 3.710^{-24}, oque nos faz rejeitar a hipótese nula acima em favor da hipótese alternativa \(H_1 = Os \: dados \: não \: seguem \: uma \: distribuição \: Normal\). Sendo assim, tomamos um caminho diferente do anterior. Ressalta-se que os resultados anteriores não serão descartados como um todo devido à falta de Normalidade e sim que serão usados como comparação com o método a seguir, que consiste no ajuste de um modelo linear generalizado (GLM). Para ajustarmos o GLM mais adequado, devemos primeiro escolher a distribuição a qual os dados melhor se adequam.
Os valores de kurtosis e skewness para os dados são 17.816 e 3.045, respectivamente. Sabe-se que a skewness de uma distribuição Gamma é igual a \(2/\sqrt{k}\), onde \(k\) é um dos parâmetros da distribuição. Pelo método de máxima verossimilhança sabe-se que um estimador para o outro parâmetro, \(\theta\), pode ser encontrado pela fórmula \(\frac{1}{kN}\sum_{i=1}^{N}{x_i}\).
Sendo assim, suspeita-se que os dados sigam uma distribuição \(Gamma(k =\:\) 0.4314 , \(\theta = \:\) 54.2175 \()\).
Notamos pelos histogramas que realmente os dados apresentam uma distribuição que pode ser aproximada pela distribuição Gamma citada. Sendo assim, ajusta-se um GLM para estes dados.
##
## Call:
## glm(formula = TotalTime ~ method_name + num_GPUs + K + n_dim +
## n_obs, family = Gamma(link = "log"), data = dados)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.72238 -0.21065 -0.03515 0.12014 1.27873
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.764045 0.019132 39.935 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans 0.844450 0.007806 108.182 < 2e-16 ***
## num_GPUs4 -0.087906 0.008092 -10.863 < 2e-16 ***
## num_GPUs6 -0.059340 0.008066 -7.357 2.04e-13 ***
## num_GPUs8 0.010017 0.008065 1.242 0.214244
## K3 0.049654 0.014403 3.447 0.000568 ***
## K4 0.099429 0.014403 6.903 5.40e-12 ***
## K5 0.144855 0.014408 10.054 < 2e-16 ***
## K6 0.185856 0.014448 12.863 < 2e-16 ***
## K7 0.224109 0.014485 15.472 < 2e-16 ***
## K8 0.262697 0.014538 18.070 < 2e-16 ***
## K9 0.300176 0.014598 20.563 < 2e-16 ***
## K10 0.335815 0.014626 22.960 < 2e-16 ***
## K11 0.365682 0.014684 24.904 < 2e-16 ***
## K12 0.398691 0.014731 27.065 < 2e-16 ***
## K13 0.428892 0.014767 29.044 < 2e-16 ***
## K14 0.459101 0.014817 30.986 < 2e-16 ***
## K15 0.489171 0.014860 32.918 < 2e-16 ***
## n_dim3 0.133204 0.013588 9.803 < 2e-16 ***
## n_dim4 0.216751 0.014260 15.200 < 2e-16 ***
## n_dim5 0.279282 0.014293 19.540 < 2e-16 ***
## n_dim6 0.329049 0.014503 22.689 < 2e-16 ***
## n_dim7 0.389176 0.014755 26.377 < 2e-16 ***
## n_dim8 0.412338 0.015483 26.632 < 2e-16 ***
## n_dim9 0.471918 0.015508 30.431 < 2e-16 ***
## n_dim10 0.521946 0.015826 32.980 < 2e-16 ***
## n_dim11 0.578545 0.016139 35.848 < 2e-16 ***
## n_dim12 0.609651 0.016865 36.149 < 2e-16 ***
## n_dim13 0.668769 0.016943 39.471 < 2e-16 ***
## n_dim14 0.697609 0.016996 41.045 < 2e-16 ***
## n_dim15 0.746273 0.017064 43.734 < 2e-16 ***
## n_dim16 0.750806 0.018479 40.630 < 2e-16 ***
## n_dim17 0.802379 0.018499 43.373 < 2e-16 ***
## n_dim18 0.830992 0.018539 44.823 < 2e-16 ***
## n_dim19 0.866232 0.018539 46.724 < 2e-16 ***
## n_dim20 0.877269 0.018580 47.216 < 2e-16 ***
## n_obs262144 -0.135422 0.015583 -8.691 < 2e-16 ***
## n_obs524288 -0.013712 0.015583 -0.880 0.378897
## n_obs1048576 0.240882 0.017255 13.960 < 2e-16 ***
## n_obs2097152 0.502172 0.015583 32.226 < 2e-16 ***
## n_obs4194304 0.906252 0.015107 59.988 < 2e-16 ***
## n_obs8388608 1.382728 0.015002 92.170 < 2e-16 ***
## n_obs16777216 1.925749 0.015396 125.077 < 2e-16 ***
## n_obs33554432 2.447589 0.017620 138.913 < 2e-16 ***
## n_obs67108864 2.958566 0.024914 118.753 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.07550956)
##
## Null deviance: 11582.27 on 9727 degrees of freedom
## Residual deviance: 664.49 on 9683 degrees of freedom
## AIC: 51451
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 7##
## Call:
## glm(formula = TotalTime ~ method_name * num_GPUs + method_name *
## n_dim + method_name * n_obs, family = Gamma(link = "log"),
## data = dados)
##
## Deviance Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.86751 -0.17013 -0.01999 0.12366 0.89728
##
## Coefficients: (5 not defined because of singularities)
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 0.858508 0.015730 54.577
## method_namedistributedKMeans 1.878779 0.039318 47.784
## num_GPUs4 0.085023 0.008122 10.469
## num_GPUs6 0.191565 0.008100 23.651
## num_GPUs8 0.301236 0.008100 37.191
## n_dim3 0.099493 0.014649 6.792
## n_dim4 0.153585 0.015161 10.130
## n_dim5 0.227893 0.015185 15.007
## n_dim6 0.276949 0.015227 18.188
## n_dim7 0.340093 0.015270 22.272
## n_dim8 0.360688 0.015726 22.935
## n_dim9 0.424719 0.015736 26.990
## n_dim10 0.473383 0.016107 29.390
## n_dim11 0.538625 0.016470 32.703
## n_dim12 0.573276 0.017351 33.039
## n_dim13 0.635148 0.017402 36.499
## n_dim14 0.664732 0.017436 38.125
## n_dim15 0.714959 0.017488 40.883
## n_dim16 0.712060 0.018337 38.832
## n_dim17 0.765704 0.018337 41.757
## n_dim18 0.795923 0.018359 43.354
## n_dim19 0.832126 0.018359 45.326
## n_dim20 0.842830 0.018381 45.853
## n_obs262144 -0.123520 0.013833 -8.930
## n_obs524288 0.007877 0.013833 0.569
## n_obs1048576 0.270441 0.015230 17.757
## n_obs2097152 0.552456 0.013833 39.939
## n_obs4194304 0.998058 0.013833 72.152
## n_obs8388608 1.485497 0.013894 106.917
## n_obs16777216 1.933828 0.014689 131.653
## n_obs33554432 2.300225 0.018284 125.805
## n_obs67108864 2.674511 0.028569 93.616
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs4 -0.549061 0.017001 -32.296
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs6 -0.860526 0.016912 -50.884
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs8 -1.080628 0.016907 -63.916
## method_namedistributedKMeans:n_dim3 0.110189 0.025460 4.328
## method_namedistributedKMeans:n_dim4 0.210134 0.027150 7.740
## method_namedistributedKMeans:n_dim5 0.192715 0.027237 7.076
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## method_namedistributedKMeans:n_dim8 0.183132 0.032951 5.558
## method_namedistributedKMeans:n_dim9 0.180220 0.033121 5.441
## method_namedistributedKMeans:n_dim10 0.163844 0.033383 4.908
## method_namedistributedKMeans:n_dim11 0.145411 0.033727 4.311
## method_namedistributedKMeans:n_dim12 0.126970 0.034429 3.688
## method_namedistributedKMeans:n_dim13 0.127763 0.034733 3.678
## method_namedistributedKMeans:n_dim14 0.121029 0.034942 3.464
## method_namedistributedKMeans:n_dim15 0.117420 0.035168 3.339
## method_namedistributedKMeans:n_dim16 0.134676 0.042652 3.158
## method_namedistributedKMeans:n_dim17 0.135895 0.042929 3.166
## method_namedistributedKMeans:n_dim18 0.131699 0.043227 3.047
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## method_namedistributedKMeans:n_dim20 0.138146 0.043535 3.173
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## method_namedistributedKMeans:n_obs1048576 NA NA NA
## method_namedistributedKMeans:n_obs2097152 NA NA NA
## method_namedistributedKMeans:n_obs4194304 -0.775700 0.040952 -18.942
## method_namedistributedKMeans:n_obs8388608 -0.694088 0.039970 -17.365
## method_namedistributedKMeans:n_obs16777216 -0.520820 0.040207 -12.953
## method_namedistributedKMeans:n_obs33554432 -0.254589 0.042154 -6.040
## method_namedistributedKMeans:n_obs67108864 NA NA NA
## Pr(>|t|)
## (Intercept) < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans < 2e-16 ***
## num_GPUs4 < 2e-16 ***
## num_GPUs6 < 2e-16 ***
## num_GPUs8 < 2e-16 ***
## n_dim3 1.17e-11 ***
## n_dim4 < 2e-16 ***
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## n_obs262144 < 2e-16 ***
## n_obs524288 0.569081
## n_obs1048576 < 2e-16 ***
## n_obs2097152 < 2e-16 ***
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## n_obs67108864 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs4 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs6 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:num_GPUs8 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim3 1.52e-05 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim4 1.10e-14 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim5 1.59e-12 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim6 1.33e-09 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim7 3.81e-09 ***
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## method_namedistributedKMeans:n_dim9 5.42e-08 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim10 9.35e-07 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim11 1.64e-05 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim12 0.000227 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim13 0.000236 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim14 0.000535 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim15 0.000844 ***
## method_namedistributedKMeans:n_dim16 0.001596 **
## method_namedistributedKMeans:n_dim17 0.001553 **
## method_namedistributedKMeans:n_dim18 0.002320 **
## method_namedistributedKMeans:n_dim19 0.002048 **
## method_namedistributedKMeans:n_dim20 0.001512 **
## method_namedistributedKMeans:n_obs262144 NA
## method_namedistributedKMeans:n_obs524288 NA
## method_namedistributedKMeans:n_obs1048576 NA
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## method_namedistributedKMeans:n_obs4194304 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:n_obs8388608 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:n_obs16777216 < 2e-16 ***
## method_namedistributedKMeans:n_obs33554432 1.60e-09 ***
## method_namedistributedKMeans:n_obs67108864 NA
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.05870784)
##
## Null deviance: 11582.27 on 9727 degrees of freedom
## Residual deviance: 560.55 on 9671 degrees of freedom
## AIC: 49803
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6Para o modelo ajustado, calculou-se os valores preditos e o erro quadrático médio.
## [1] "MSE = 0.059"CMeans
Analisando os p-valores dos testes de Kruskal-Wallis e de Dunn apenas para o método CMeans:
##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: cmeans$TotalTime by cmeans$num_GPUs
## Kruskal-Wallis chi-squared = 424.57, df = 3, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: cmeans$TotalTime by cmeans$K
## Kruskal-Wallis chi-squared = 210.75, df = 13, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: cmeans$TotalTime by cmeans$n_obs
## Kruskal-Wallis chi-squared = 5897.4, df = 9, p-value < 2.2e-16##
## Kruskal-Wallis rank sum test
##
## data: cmeans$TotalTime by cmeans$n_dim
## Kruskal-Wallis chi-squared = 337.4, df = 18, p-value < 2.2e-16