Uma breve revisão sobre modelos de regressão

Processo de ajuste de um modelo estatístico

A modelagem estatística tem como principais objetivos descrever relações entre variáveis, estimar parâmetros de interesse, testar suas significâncias e produzir predições para resultados não observados de variáveis aleatórias. Os modelos empregados com tais finalidades são usualmente denominados modelos de regressão;
Vamos tratar de modelos paramétricos, em que a distribuição de uma variável aleatória (resposta), ou, mais especificamente, de algum de seus parâmetros (como a média) é uma função de um conjunto de variáveis independentes (explicativas) e parâmetros;

2. O ajuste de um modelo estatístico segue, em linhas gerais, as seguintes etapas:

Fase de especificação - Com base na teoria e nos dados disponíveis, propor um modelo de regressão:

Especificar uma distribuição pertinente para a variável resposta, condicional às variáveis explicativas;
Determinar quais variáveis explicativas são relevantes para explicar a variável resposta;
Especificar o escopo do modelo - a região de valores para as variáveis explicativas que será considerada no estudo;
Determinar a forma funcional que relaciona a variável resposta (ou, mais especificamente, algum parâmetro de sua distribuição, como a média) e as variáveis explicativas.

Observação - A análise preliminar dos dados, com utilização de técnicas descritivas, é fundamental para a especificação adequada do modelo.

Fase de ajuste - Usando a teoria estatística estimar os parâmetros do modelo;

Fase de diagnóstico - Analisar a adequabilidade e validar o modelo ajustado;

Avaliar se o modelo proposto é compatível com os dados disponíveis;

Caso o modelo não se mostre adequado, deve-se voltar ao primeiro passo e rever sua especificação.

Fase de análise - Se o ajuste se mostrar adequado, o modelo pode ser usado para fins de descrição, inferência e predição.

O modelo de regressão clássico

O modelo

Modelo Inicial: \(Y=f(x)\)

Formulação Estatística

Quando lidamos com um modelo sob o ponto de vista da estatística, devemos ter em mente que as relações entre as variáveis quase nunca são exatas, determinísticas. Elas, em geral, incluem flutuações aleatórias. Assim, sob o ponto de vista da Estatística um modelo é constituido por duas componentes:

Componente Sistemática + Componente Aleatória

A componente Sistemática é expressa por uma função especificada pelo analista, enquanto que a componente aleatória é representada por uma distribuição de probabilidade. Ou seja, \[ Y=f(x)+\epsilon \]

Isto significa que o componente de \(Y\) é explicado em parte por \(x\), através da função \(f\), e por outra parte não captada por essa função, representada por \(\epsilon\).

A relação entre a variável resposta \(Y\) e a variável explicativa \(X\) é postulada como um modelo linear \[ Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon, \] em que, \(\beta_0\) e \(\beta_1\) são parâmetros fixos e desconhecidos, chamados “coeficiente do modelo de regressão” e \(\epsilon\) é o “erro aleatório”.

OBSERVAÇÃO

O adjetivo “linear” tem sendito duplo. Ele pode descrever, de fato, que a relação entre \(Y\) e \(X\) é linear (reta). Mas, geralmente, a palavra linear refere-se ao modo como os parâmetros entram no modelo. Ou seja, a linearidade é nos parâmetros. Por exemplo, \(Y=\beta_0+\beta_1X^2+\epsilon\) é um modelo linear, apesar da relação entre \(Y\) e \(X\) ser quadrática.

Modelos Lineares Generalizados

Olinda, R. A.

02 de outubro de 2017

Centro de Ciência e Tecnologia

Departamento de Estatística

UEPB - CCT - DE

R Markdown

Uma breve revisão sobre modelos de regressão

O modelo de regressão clássico