Una matriz \(A\) de \(m \times n\) es un arreglo rectangular de \(mn\) numeros dispuestos en \(m\) renglones y \(n\) columnas

\[ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)\]

El simbolo \(m \times n\) se lee "\(m\) por \(n\)".

En lenguaje \(R\),una matriz es un vector con un atributo adicional "dim". Para el caso de las matrices, este atributo es un vector entero de dos elementos, a saber el número de renglones (nrow) \(m\) y el número de columnas(ncol) \(n\) que componen a la matriz.

• A <- matrix(data = , nrow =, ncol = , byrow = ,dimnames =)
• B <- as.matrix(data =)
• dim(B) <- c(m,n)
• B

construye las siguientes matrices en \(R\).

1. \[A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{array} \right)\]

2. \[B = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & -4\\ 2 & 4 & -2\\ 7 & 3 & -9\\ 9 & 3 & 0 \\ -2 & 4& 5 \end{array} \right)\]

• El vector o matriz renglón \[ \left( \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \end{array} \right)\]

• El vector o matriz renglón \[ \left( \begin{array}{cccc} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{nj} \\ \end{array} \right)\]

• Si \(A\) es una matriz \(m \times n\) con \(m = n\), entonces A se llama matriz cuadrada.

• Una matriz \(m \times n\) con todos los elementos iguales a cero se denomina matriz cero de \(m \times n\).

• Se dice que una matriz \(m \times n\) tiene tamaño o dimensión \(m \times n\).

• Traspuesta de la matriz \(A\) se denota como \(A^{t}\) y resulta de cambiar las filas por columnas.

Dos matrices \(A = (a_{ij})\) y \(B = (b_{ij})\) son iguales si:

• Son del mismo tamaño.

• Las componentes correspondientes son iguales.

Sean \(A = (a_{ij})\) y \(B = (b_{ij})\) dos matrices \(m \times n\). Entonces la suma o resta de \(A\) y \(B\) es la matriz \(m \times n\), \(A \pm B\) dada por

\[ (a_{ij} \pm b_{ij}) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & \cdots & a_{1n}\pm b_{1n}\\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} & \cdots & a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} \pm b_{m1} & a_{m2}\pm b_{m2} & \cdots & a_{mn}\pm b_{mn} \end{array} \right)\]

Sean \(A = (a_{ij})\) y \(\alpha \in R\) se define la multiplicación del escalar \(\alpha\) por la matriz A, denotada \(\alpha A\) , así:

\[ \alpha A = (\alpha a_{ij} ) = \left( \begin{array}{cccc} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \cdots & \alpha a_{1n}\\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \cdots & \alpha a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \alpha a_{m1} & \alpha a_{m2} & \cdots & \alpha a_{mn} \end{array} \right)\]

• Producto entre una matriz fila y una matriz columna.

sean \[ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \end{array} \right)_{1 \times n}\]

y \[B = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1} \\ \end{array} \right)_{n \times 1}\]

se define el producto de la matriz fila \(A\) con la matriz columna \(B\) como, \[AB = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1} \\ \end{array} \right)\]

\[AB = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + ... + a_{1n}b_{n1}\]

• Dos matrices se pueden multiplicar únicamente si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda.
• Multiplicación de matrices \(A_{m \times n}B_{n \times q} = AB_{m \times q}\).

Calcule la matriz inversa, los valores y vectores propios de la matriz \[A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 \\ -2 & 4 \end{array} \right)\] y \[B = \left( \begin{array}{cccc} 3 & -2 \\ 5 & 6 \end{array} \right)\]

a <- c(1,3,-2,4)   # Vector de información
A <- matrix(a,ncol=2,nrow = 2,byrow = T)  #matriz A
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    3
## [2,]   -2    4

b <- c(3,-2,5,6)   # Vector de información
B <- matrix(b,ncol=2,nrow = 2,byrow = T)  #matriz B
B

##      [,1] [,2]
## [1,]    3   -2
## [2,]    5    6

a <- c(1,3,-2,4)   # Vector de información
A <- matrix(a,ncol=2,nrow = 2,byrow = T)  #matriz A

dim(A)  #Dimensión de la matriz.

## [1] 2 2

traza<-sum(diag(A))
traza

## [1] 5

diag(A) #Diagonal de la matriz A.

## [1] 1 4

a <- c(1,3,-2,4)   # Vector de información
Z <- diag(a,length(a)) #matriz diagonal
Z

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    3    0    0
## [3,]    0    0   -2    0
## [4,]    0    0    0    4

t(A)    #Traspuesta de la matriz A.

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -2
## [2,]    3    4

A+t(A)  #Suma de matrices.

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    8

A-t(A)  #Resta de matrices.

##      [,1] [,2]
## [1,]    0    5
## [2,]   -5    0

A*t(A)  #Producto de matrices.

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -6
## [2,]   -6   16

A/t(A)  #División de matrices.

##            [,1] [,2]
## [1,]  1.0000000 -1.5
## [2,] -0.6666667  1.0

A%*%t(A)  #Multiplicación de matrices.

##      [,1] [,2]
## [1,]   10   10
## [2,]   10   20

det(A)       #  Determinante de la matriz A.

## [1] 10

I<-solve(A)  #  Inversa de la matriz A.
I

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.4 -0.3
## [2,]  0.2  0.1

A%*%I        #  Multiplicación de una matriz por su inversa.

##      [,1]         [,2]
## [1,]    1 5.551115e-17
## [2,]    0 1.000000e+00

eigen(A)     #  Autovalores y autovectores. 

## $values
## [1] 2.5+1.936492i 2.5-1.936492i
## 
## $vectors
##                [,1]           [,2]
## [1,] 0.7745967+0.0i 0.7745967+0.0i
## [2,] 0.3872983+0.5i 0.3872983-0.5i

var(A)       #  La matriz de varianzas y covarianzas.

##      [,1] [,2]
## [1,]  4.5 -1.5
## [2,] -1.5  0.5

cov(A)       #  La matriz de varianzas y covarianzas.

##      [,1] [,2]
## [1,]  4.5 -1.5
## [2,] -1.5  0.5

cor(A)       #  La matriz de correlación.

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -1
## [2,]   -1    1

.libPaths() to see which libraries are currently active