Pour rappel, un sujet EDHEC se décompose en 3 exos et 1 problème.
Le problème est un exercise de probabilité DISCRETE ou CONTINU. Maîtriser les probabilités continus à l’EDHEC s’est assuré un minimum de 6 à 12 points le jour du concours. L’investissement en vaut la peine; d’autant plus que les sujets sont très classiques car toujours construit sur les mêmes exercises - c’est-à-dire :
Une marche aléatoire avec l’exercise de la “puce” / “mobile” qui se déplace aléatoirement à partir d’un point donné
Une urne contenant n boules blanches, p noires et q rouges (les proportions varient suivant les années) ou des numéros de boule
Le lancée d’une pièce (parfois truquée, parfois équiprobable)
Un mixte des sujets cités précédemment - prendre une boule numérotée puis lancer une pièce
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de \(n\) urnes, numérotées de \(1\) à \(n,\) contenant chacune \(n\) boules. On répète \(n\) épreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres.Pour tout \(i\) de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) on note \(X_{i}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne numérotée \(i\) contient toujours \(n\) boules au bout de ces \(n\) épreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
Pour tout \(i\) et tout \(k,\) éléments de \(\{1,2,...,n\},\) on note \(U_{i,k}\) l’événement “l’urne numéro \(i\) est choisie à la \(k^{\text{ème}}\) épreuve”.Ecrire l’événement \((X_{i}=1)\) à l’aide de certains des événements \(U_{i,k},\) puis montrer que : \[ \forall i\in\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\ P(X_{i}=1)=\left( 1-\dfrac{1}% {n}\right) ^{n}. \]
Justifier également que, si \(i\) et \(j\) sont deux entiers distincts, éléments de \(\{1,2,...,n\},\) on a : \[ P\left( \left[ X_{i}=1\right] \cap\left[ X_{j}=1\right] \right) =\left( 1-\dfrac{2}{n}\right) ^{n}. \]
Comparer $( 1-) $ et \(\left( 1-\dfrac{1}%{n}\right) ^{2}\) et en déduire que, si \(i\) et \(j\) sont deux entiers distincts, éléments de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) alors les variables \(X_{i}\) et \(X_{j}\) en sont pas indépendantes.
On pose \(\displaystyle{Y_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{i}.}\)
Déterminer l’espérance de \(Y_{n},\) notée \(E(Y_{n}).\)
En déduire \(\{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{E(Y_{n})}{n}%}\) et donner un équivalent de \(E(Y_{n})\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty.\)
Pour tout \(i\) de \(\left\{ 1,2,...,n\right\} ,\) on note \(N_{i}\) la variable aléatoire égale au nombre de boules manquantes dans l’urne numérotée \(i\) à la fin de ces \(n\) épreuves.
Donner sans calcul la loi de \(N_{i}\) ainsi que la valeur de \(E(N_{i}).\)
Que vaut le produit \(N_{i}X_{i}\) ?
Les variables \(N_{i}\) et \(X_{i}\) sont-elles indépendantes ?
Dans cet exercice, \(p\) désigne un réel de \(]0;1[\) et on note \(q=1-p\). On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur le m^{e}me espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal{A},P)\), indé pendantes et suivant toutes deux la m^{e}me loi géométrique de paramètre \(p\).
On pose \(Z=\inf (X,Y)\) et on admet que \(Z\) est une variable alé%atoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé \((\Omega ,%\mathcal{A},P)\).On rappelle que, pour tout entier naturel \(k\), on a l’égalité: \((Z>k)=(X>k)\cap (Y>k)\).
Pour tout entier naturel \(k\), calculer \(P(Z>k)\).
Etablir que, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal `{a} 1, on a:%
\(P(Z=k)=P(Z>k-1)-P(Z>k)\)
En déduire que \(Z\) suit la loi géométrique de paramè%tre \((1-q^2)\).
On définit la variable aléatoire \(T\) de la faon suivante:%
Pour tout $$ de $$ tel que \(X(\omega )\) est un entier naturel pair, on pose \(T(\omega )=\dfrac{X(\omega )}{2}\), et, pour tout $$ de $$ tel que \(X(\omega )\) est un entier naturel impair, on pose \(T(\omega ) = \dfrac{1+X(\omega )}{2}\).
On admet que \(T\) est une variable aléatoire, elle aussi définie sur \((\Omega ,\mathcal{A},P)\).
Montrer que \(T\) prend des valeurs entières non nulles.
Réciproquement, justifier que tout entier naturel \(k\) non nul est élément de \(T(\Omega )\) et en déduire que \(T(\Omega )=\mathbb{N}^{\ast }\).
Exprimer l’événement \((T=k)\) en fonction de certains événements \((X=i)\) puis montrer que \(T\) suit la m^{e}me loi que \(Z\).
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On note \(p\) un réel de \(]0;1[\) et on pose \(q=1-p\). On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\) et Face avec la probabilité \(q\). On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes: Soit si l’on a obtenu Pile Soit si l’on a obtenu \(n\) fois Face
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(P_{k}\) (respectivement \(F_{k}\) l’événement « on obtient Pile (respectivement Face) au \(k^{\textrm{e}}\) lancer ». On note \(T_{n}\) le nombre de lancers effectués, \(X_{n}\) le nombre de Pile obtenus et enfin \(Y_{n}\) le nombre de Face obtenus.
On admet que \(T_{n}\) , \(X_{n}\) et \(Y_{n}\) sont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé \(\left(\Omega;\mathcal{A};P\right)\) que l’on ne cherchera pas à préciser
Loi de \(T_{n}\)
Pour tout \(k\) de \(\left[\!\left[1;n-1\right]\!\right]\), déterminer, en distinguant le cas \(k=1\), la probabilité \(P(T_{n}=k)\)
Déterminer \(P\left(T_{n}=n\right)\)
Vérifier que \({\sum_{k=1}^{n}P\left(T_{n}=k\right)=1}\)
Établir que \(T_{n}\) possède une espérance et vérifier que \(E(T_{n}) = \dfrac{1-q^{n}}{1-q}\)
Loi de \(X_{n}\)
Donner la loi de \(X_{n}\) Vérifier que \(E(X_{n})=1-q^{n}\)
Loi de \(Y_{n}\)
Déterminer, pour tout \(k\) de \(\left[\!\left[0;n-1\right]\!\right]\), la probabilité \(P(Y_{n}=k)\)
Déterminer \(P(Y_{n}=n)\)
Écrire une égalité liant les variables aléatoires \(T_{n}\), \(X_{n}\) et \(Y_{n}\), puis en déduire \(E\left(Y_{n}\right)\)
Montrer que la suite \(\left(T_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(T\) dont on donnera la loi.
Soit \(E=\{1,\dots,d\}\) un ensemble fini. On appelle marche aléatoire sur \(E\) une suite \((X_n)\) de variables aléatoires à valeurs dans \(E\) telle que, pour tout \(i,j\in\{1,\dots,d\}^2\), il existe \(p_{i,j}\geq 0\) tel que, pour tout \(n\geq 1\), \(P(X_n=i|X_{n-1}=j)=p_{i,j}\). On appelle matrice de transition de la marche aléatoire la matrice \(A=(p_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}\).
Démontrer que, pour tout \(j\in\{1,\dots,d\}\), on a \(\sum_{i=1}^d p_{i,j}=1\).
Une puce se déplace sur un triangle de la façon suivante. Si elle est sur un sommet, elle se déplace de façon équiprobable sur l’un des deux autres sommets (elle ne peut rester sur place). Donner la matrice de transition \(A\) dans ce cas.
On appelle matrice état au temps \(n\) la matrice colonne \(U_n=\left(\begin{array}c P(X_n=1)\\ \vdots \\ P(X_n=d)\end{array}\right)\). Démontrer que, pour tout \(n\geq 1\), on a \(U_n=A^n U_0\). On dit que la marche aléatoire est convergente si la suite \((U_n)\) est convergente. Démontrer que si la marche aléatoire est convergente, ce ne peut être que vers un état stable de la marche, c’est-à-dire vers une solution de \(AU=U\). Le cas \(d=2\): on considère dans cette question une marche aléatoire à deux états, on note
\(A={array}{cc} 1-p &q\\ p&1-q\end{array})\)
\(U_n={array}c p_n\\ q_n\end{array})\)
Démontrer que, pour tout \(n\geq 1\), on a \(p_{n+1}=(1-p-q)p_n+q\).
En déduire que les suites \((p_n)\) et \((q_n)\) sont convergentes vers des réels que l’on précisera.
On retourne à l’étude de la marche aléatoire sur le triangle.
Démontrer, sans aucun calcul, que la matrice \(A\) est diagonalisable. Démontrer que pour tout entier \(n\), on a
\[A=\left(\begin{array}{ccc} u_n&v_n&v_n\\ v_n&u_n&v_n\\ v_n&v_n&u_n \end{array}\right)\]
\[u_n=\frac 13\left(1-\left(\frac 12\right)^{n-1}\right)\textrm{ et }v_n=\frac 13\left(1-\left(\frac 12\right)^n\right).\]
En déduire que, quelque soit l’état initial \(U_0\), la suite \((U_n)\) est convergente.
On considère un carré \(ABCD\) et son centre \(O\). On note \(\Gamma=\{A,B,C,D,O\}\). Une puce se déplace aléatoirement en sautant d’un point de \(\Gamma\) à un autre. La seule contrainte est que, si un saut relie deux sommets du carré, ceux-ci sont adjacents. Par exemple, une puce se trouvant en \(A\) peut sauter en \(B\), \(D\) ou \(O\); une puce se trouvant en \(O\) peut sauter en \(A\), \(B\), \(C\) ou \(D\). A chaque saut, tous les déplacements possibles sont équiprobables. La puce ne reste pas deux fois de suite au même endroit. Au départ, c’est à dire avant son premier saut, la puce se trouve au point \(O\)
Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(O_n\) l’évènement “la puce se trouve au point \(O\) à l’issue de son \(n\)-ème saut”. On note \(p_n=P(O_n)\). On a donc \(p_0=1\). On définit de même les évènements \(A_n\), \(B_n\), \(C_n\) et \(D_n\). Calculer \(p_1\) et \(p_2\). Pour tout entier naturel \(n\geq 1\) démontrer les égalités \[P(A_n)=P(B_n)=P(C_n)=P(D_n).\] On pourra raisonner par récurrence sur \(n\).
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(p_{n+1}=\frac13(1-p_n)\). En déduire la valeur de \(p_n\) pour \(n\in\mathbb N\). Quelle proportion du temps la puce passe-t-elle sur chacun des points de \(\Gamma\) ?
Un appartement est formé de deux pièces \(A\) et \(B\) reliées entre elles par une porte ouverte. Seule la pièce \(B\) possède une fenètre ouverte. Une guèpe, qui s’était endormie dans la pièce \(A\) se réveille à l’instant 0. On estime que :
Quand la guèpe est dans la pièce \(A\) à l’instant \(n\) (exprimé en minutes), elle est encore dans cette pièce une minute après avec probabilité 1/3. Quand la guèpe est dans la pièce \(B\) à l’instant \(n\), elle retourne dans la pièce \(A\) une minute après avec probabilité 1/4 et reste dans la pièce \(B\) avec probabilité 1/2.
Dans cette question, quand la guèpe sort de l’appartement, elle ne revient plus. On introduit les évènements
\(A_n\) : “la guèpe est dans la pièce \(A\) à l’instant \(n\)’’ \(B_n\) :”la guèpe est dans la pièce \(B\) à l’instant \(n\)‘’ \(E_n\) :’’la guèpe est à l’extérieur de l’appartement à l’instant \(n\)“.
Enfin, on note \(a_n\), \(b_n\) et \(e_n\) les probabilités respectives de ces évènements et \(U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\e_n\end{pmatrix}\).
Décrire la matrice de transition \(M\) telle que pour tout \(n\ge 0\), \(U_{n+1}=MU_n\). On note \(X_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\). Montrer qu’il existe une matrice \(Q\) que l’on déterminera telle que pour tout \(n\ge 0\), \(X_{n+1}=QX_n\). Montrer qu’il existe un réel \(\lambda\) que l’on déterminera tel que \(Q^2=\lambda Q\). Calculer la probabilité que, \(n\) minutes après son réveil, la guèpe ne se trouve plus dans l’appartement. Au bout de combien de temps, cette probabilité devient-elle supérieure à 0,999 ? On note \(T\) le premier instant où¹ la guèpe se trouve à l’extérieur de l’appartement. Que vaut \(P(T=1)\) ? Pour \(n\ge 2\), calculer \(P(T=n)\). Que représente \(e_n\) vis à vis de la variable aléatoire \(T\) ?