Analiza porównawcza ryzyka z zastosowaniem modeli klasy GARCH
Patryk Raczkowski, Ewelina Pastuszka
04.09.2017
Wstęp
Badanie zostało przeprowadzone, aby porównać ryzyko rozumiane jako oszacowanie funkcji warunkowej wariancji w modelach klasy GARCH. Portfel inwestycyjny, który został poddany analizie składa się z pięciu wybranych losowo spółek notowanych na GPW, są to: Grupa Apator SA, NTT SYSTEM SA, LENTEX SA, RAINBOW TOURS SA, Bank Zachodni WBK SA, MENNICA POLSKA SA. Badanie opiera się na porównaniu standardowego modelu GARCH z dwoma rozszerzeniami modelu- EGARCH oraz TGARCH. #Baza danych Źródło danych stanowił serwis https://stooq.com. Wybrane do badania spółki pochodzą z różnych sektorów gospodarki. Wszystkie spółki były notowane na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych a ceny akcji zostały podane w PLN. W pracy zostały wykorzystane biblioteki: xts, fBasics, tseries, car, FinTS, fGarch.
library(xts)
library(fBasics)
library(tseries)
library(car)
library(FinTS)
library(rugarch)
library(fGarch)Po wczytaniu danych została ustalona data początkowa- 2007-10-09
date <- max(min(aa$Date), min(ab$Date), min(ac$Date), min(ad$Date), min(ae$Date), min(af$Date))Szeregi czasowe utworzone z poszczególnych instrumentów, zostały połączone w jedną tablicę.
W kolejnym kroku zostały policzone ciągłe stopy zwrotu dla wszystkich pięciu instrumentów:
Na podstawie, obliczonych wcześniej stóp zwrotu dla każdego z instrumentów, zostały policzone uśrednione zwroty oraz notowania. W oparciu o teorię zrównoważonego portfela, zakładamy, że wszystkie instrumenty mają te samą wagę, formuła ma następują postać:
Aby zobrazować rozkład stóp został wykonany wykres. 
Otrzymany wykres sugeruje, że szereg nie jest stacjonarny- nie jest spełniony warunek na stałość wariancji i średniej. Statystyki zwrotow:
## X..Portfel.Zwroty
## nobs 2314.000000
## NAs 1.000000
## Minimum -0.093789
## Maximum 0.064613
## 1. Quartile -0.005951
## 3. Quartile 0.006786
## Mean 0.000126
## Median 0.000246
## Sum 0.291990
## SE Mean 0.000265
## LCL Mean -0.000394
## UCL Mean 0.000646
## Variance 0.000163
## Stdev 0.012754
## Skewness -0.591033
## Kurtosis 5.259700Zostały policzone również podstawowe statystyki. Otrzymane wyniki świadczą o tym, że mamy do czynienia z rozkładem leptotuktycznym, że względu na wartość kurtozy, która wyniosła 5.258259. Aby zobrazować rozkład zwrotów z portfela został wykonany histogram. 
Wykres wskazuje, że raczej nie mamy do czynienia z rozkładem normalnym. Aby potwierdzić, tę hipotezę wykonany został test Jarque- Bera.
##
## Jarque Bera Test
##
## data: na.omit(Portfel$Zwroty)
## X-squared = 2808.2, df = 2, p-value < 2.2e-16Hipoteza zerowa, zakłada że badany rozkład jest rozkładem normalnym. Otrzymana statystyka skłania nas do jej odrzucenia. Zatem badany rozkład nie jest rozkładem normalnym. Wygenerowany został również wykres ACF, by sprawdzić czy pomiędzy stopami występuje jakaś zależność. Wykres wskazuje że opóźnienia 1,2,4, 8,9 są istotne.
Wykres kwadratów zwrotów wskazuje, że większość opóźnień jest istotna.
W celu sprawdzenia, czy wymienione na podstawie wykresu ACF opóźnienia są istotne, został wykonany test Durbina- Watsona.
## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
## 1 0.09882278 1.802127 0.000
## 2 0.06261497 1.873715 0.000
## 3 0.02180454 1.955138 0.274
## 4 0.04694208 1.904120 0.012
## 5 -0.02112604 2.039691 0.306
## Alternative hypothesis: rho[lag] != 0Przy poziomie istotności równym 5%, istotnymi opóźnieniami są: 1,2,4.
##
## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
##
## data: Portfel$Zwroty
## Chi-squared = 175.58, df = 5, p-value < 2.2e-16Wykonany został również test sprawdzający, czy dla zwrotów z badanego portfela występuje efekt ARCH. Wynik testu wskazuje, że hipoteza o braku efektów ARCH powinna zostać odrzucona. W kolejnym kroku, dane zostały poddane standaryzacji.
## [1] 0.586492282 -1.131215413 -0.130150442 -0.007808828 -0.781861223
## [6] -0.482451116Histogram dla wystandaryzowanych zwrotów przedstawia się następująco:
W kolejnej części raportu zbudowany przez nas portfel, będzie analizowany pod kątem spełnienia wytycznych standardowego modelu GARCH a także jego dwóch rozszerzeń modelu- EGARCH oraz TGARCH. #Analiza ryzyka rozumianego jako oszacowanie funkcji warunkowej wariancji w modelach klasy GARCH Model GARCH(p,q) stanowi rozszerzenie modelu ARCH(q). Model jest szacowany za pomocą MNW. Zaletą w porównaniu do modelu ARCH(q) jest elastyczniejsza forma, która często pozwala na otrzymanie lepszych dopasowani przy mniejszej liczbie parametrów. Jednym z problemów dla modeli z klasy GARCH(p,q), z którymi trzeba się zmierzyć jest warunek narzucony na parametry, który zapewnia nieujemność przewidywanych wariancji składnika losowego.
Zanim rozpoczęliśmy poszukiwania najlepiej dopasowanego modelu, próba została podzielona na okresy in- sample oraz out of sample.
Portfel2 <- Portfel[as.Date("2010-07-01") <= Portfel$Date, ]
Portfel3 <- Portfel[Portfel$Date <= as.Date("2010-06-30"), ]Jako pierwszy został sprawdzony model GARCH(1,0), czyli ARCH(1). Otrzymane wyniki wskazują, że występuje autokorelacja, ze względu na to że p-value dla reszt i kwadratów reszt dla pierwszych 10, 15 i 20 opóźnień są niskie lub równe 0. Hipoteza o braku efektów ARCH również zostaje odrzucona, ponieważ p-value dla testu LM także wynosi 0. Zatem model ARCH(1) nie jest odpowiedni- efekty ARCH nie zostały wyjaśnione, a także występuje problem autokorelacji reszt i kwadratów reszt. Następnie został oszacowany model GARCH(2,0).
##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~garch(2, 0), data = na.omit(Portfel3$rstd),
## cond.dist = "norm", include.mean = F, trace = FALSE)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ garch(2, 0)
## <environment: 0x000000004dfe5840>
## [data = na.omit(Portfel3$rstd)]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## omega alpha1 alpha2
## 1.40879 0.13843 0.15747
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 1.40879 0.12335 11.421 < 2e-16 ***
## alpha1 0.13843 0.05583 2.480 0.01315 *
## alpha2 0.15747 0.05866 2.684 0.00727 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## -1074.567 normalized: -1.730381
##
## Description:
## Tue Sep 05 10:48:17 2017 by user: Patryk
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 216.7188 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9688196 3.21729e-10
## Ljung-Box Test R Q(10) 38.97414 2.565462e-05
## Ljung-Box Test R Q(15) 42.44927 0.0001916173
## Ljung-Box Test R Q(20) 49.13509 0.0002941793
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 15.97502 0.1003497
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 16.55432 0.3461974
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 17.91102 0.5932697
## LM Arch Test R TR^2 15.70917 0.2049226
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## 3.470425 3.491832 3.470378 3.478745Wszystkie parametry są istotne, jednak ponownie jak w przypadku modelu GARCH(1,0) napotykamy problem autokorelacji reszt oraz niewyjaśnienia efektów ARCH przez model. Oszacowania zwrotów dla modelu GARCH(1,1)
##
## Title:
## GARCH Modelling
##
## Call:
## garchFit(formula = ~garch(1, 1), data = na.omit(Portfel3$rstd),
## cond.dist = "norm", include.mean = F, trace = FALSE)
##
## Mean and Variance Equation:
## data ~ garch(1, 1)
## <environment: 0x00000000200bff88>
## [data = na.omit(Portfel3$rstd)]
##
## Conditional Distribution:
## norm
##
## Coefficient(s):
## omega alpha1 beta1
## 0.20591 0.12469 0.77338
##
## Std. Errors:
## based on Hessian
##
## Error Analysis:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.20591 0.08200 2.511 0.01203 *
## alpha1 0.12469 0.03794 3.287 0.00101 **
## beta1 0.77338 0.06460 11.972 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log Likelihood:
## -1063.974 normalized: -1.713324
##
## Description:
## Tue Sep 05 10:48:17 2017 by user: Patryk
##
##
## Standardised Residuals Tests:
## Statistic p-Value
## Jarque-Bera Test R Chi^2 246.6435 0
## Shapiro-Wilk Test R W 0.9702616 6.619172e-10
## Ljung-Box Test R Q(10) 34.56914 0.0001478602
## Ljung-Box Test R Q(15) 39.05148 0.0006296015
## Ljung-Box Test R Q(20) 44.04081 0.00148611
## Ljung-Box Test R^2 Q(10) 2.052404 0.9959225
## Ljung-Box Test R^2 Q(15) 2.973855 0.9996191
## Ljung-Box Test R^2 Q(20) 5.159253 0.9996464
## LM Arch Test R TR^2 2.407372 0.9984766
##
## Information Criterion Statistics:
## AIC BIC SIC HQIC
## 3.436310 3.457717 3.436263 3.444630
Istotne okazały się parametry Alpha1 i Beta1. Dla kwadratów wystandaryzowanych reszt, testy Ljung- Boxa wskazują, że reszty są białym szumem. Wynik testu sprawdzającego występowanie efektów ARCH, skłania nas do przyjęcia za prawdziwą , hipotezy o braku występowania efektów ARCH. Wniosek: model nie jest najlepszy- nie wszystkie parametry są istotne. Zostały sprawdzone różne modele GARCH(p,q)- niestety nie udało się znaleźć takiego modelu, który można uznać za dobrze dopasowany i spełniający wytyczne dla modeli GRACH(p,q). #Model EGARCH(p,q) Jednym z wybranych do badania uogólnień modeli GARCH(p,q) jest EGARCH(p,q). Modele EGARCH są odpowiednie, gdy dodatnie i ujemne wstrząsy o jednakowej wielkości mogą nie przyczyniać się do zmienności . Poniżej został oszacowany model EGARCH(1,1).
##
## *---------------------------------*
## * GARCH Model Fit *
## *---------------------------------*
##
## Conditional Variance Dynamics
## -----------------------------------
## GARCH Model : eGARCH(1,1)
## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm
##
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.067084 0.028106 2.3869 0.016993
## alpha1 -0.083013 0.029060 -2.8566 0.004282
## beta1 0.897964 0.042666 21.0464 0.000000
## gamma1 0.221850 0.061367 3.6152 0.000300
##
## Robust Standard Errors:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.067084 0.041012 1.6357 0.101900
## alpha1 -0.083013 0.042117 -1.9710 0.048723
## beta1 0.897964 0.057786 15.5395 0.000000
## gamma1 0.221850 0.069988 3.1698 0.001525
##
## LogLikelihood : -1056.665
##
## Information Criteria
## ------------------------------------
##
## Akaike 3.4160
## Bayes 3.4445
## Shibata 3.4159
## Hannan-Quinn 3.4271
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 12.02 5.251e-04
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 15.35 7.410e-05
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 20.15 1.759e-05
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 0.2595 0.6105
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 1.6445 0.7044
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 2.4621 0.8433
## d.o.f=2
##
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
## Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3] 0.5575 0.500 2.000 0.4553
## ARCH Lag[5] 1.4534 1.440 1.667 0.6046
## ARCH Lag[7] 1.7535 2.315 1.543 0.7693
##
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic: 0.9904
## Individual Statistics:
## omega 0.5018
## alpha1 0.2296
## beta1 0.2005
## gamma1 0.2771
##
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic: 1.07 1.24 1.6
## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
##
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
## t-value prob sig
## Sign Bias 2.436 0.01511 **
## Negative Sign Bias 1.167 0.24371
## Positive Sign Bias 1.828 0.06803 *
## Joint Effect 6.344 0.09602 *
##
##
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
## group statistic p-value(g-1)
## 1 20 26.31 0.12176
## 2 30 41.66 0.06027
## 3 40 47.15 0.17373
## 4 50 62.82 0.08874
##
##
## Elapsed time : 0.6035309Wszystkie oszacowania parametrów są istotne. Wynik testu na występowanie efektu ARCH jest negatywny. Nie możemy jednak odrzucić hipotezy o braku autokorelacji wystandaryzowanych reszt dla żadnego z opóźnień, a dla wystandaryzowanych kwadratów reszt możemy ją odrzucić tylko dla dwóch opóźnień .Wartość kryterium informacyjnego AIC wynosi 2.8202. Poniżej wykres:
Dla porównania został oszacowany również model EGARCH(1,2). Model ten również spełnia wytyczne: oszacowania parametrów są istotne, nie występują efekty ARCH. Dla każdego opóźnienia odrzucamy hipotezę o braku autokorelacji dla wystandaryzowanych kwadratów reszt. Wartość AIC wynosi 2.8147, jest więc niższa niż dla modelu EGARCH(1,1).Tak więc model wydaje się być lepszy niż model EGARCH(1,1). Poniżej korelogram standaryzowanych zwrotów dla modelu EGARCH(1,2):
##
## *---------------------------------*
## * GARCH Model Fit *
## *---------------------------------*
##
## Conditional Variance Dynamics
## -----------------------------------
## GARCH Model : eGARCH(1,2)
## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm
##
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.064862 0.026568 2.44131 0.014634
## alpha1 -0.077734 0.029910 -2.59895 0.009351
## beta1 0.999995 0.238380 4.19497 0.000027
## beta2 -0.099240 0.229133 -0.43311 0.664934
## gamma1 0.208074 0.064429 3.22951 0.001240
##
## Robust Standard Errors:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.064862 0.036952 1.75531 0.079206
## alpha1 -0.077734 0.032453 -2.39532 0.016606
## beta1 0.999995 0.208298 4.80080 0.000002
## beta2 -0.099240 0.224305 -0.44243 0.658176
## gamma1 0.208074 0.065025 3.19992 0.001375
##
## LogLikelihood : -1056.67
##
## Information Criteria
## ------------------------------------
##
## Akaike 3.4192
## Bayes 3.4549
## Shibata 3.4191
## Hannan-Quinn 3.4331
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 12.33 4.464e-04
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 15.62 6.315e-05
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 20.37 1.532e-05
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 0.3826 0.5362
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][8] 2.6025 0.7577
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][14] 3.3815 0.9316
## d.o.f=3
##
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
## Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[4] 0.1008 0.500 2.000 0.7509
## ARCH Lag[6] 1.4810 1.461 1.711 0.6155
## ARCH Lag[8] 1.5704 2.368 1.583 0.8264
##
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic: 1.309
## Individual Statistics:
## omega 0.5132
## alpha1 0.2284
## beta1 0.2114
## beta2 0.2015
## gamma1 0.2488
##
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic: 1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
##
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
## t-value prob sig
## Sign Bias 2.470 0.01379 **
## Negative Sign Bias 1.106 0.26934
## Positive Sign Bias 1.899 0.05807 *
## Joint Effect 6.563 0.08721 *
##
##
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
## group statistic p-value(g-1)
## 1 20 27.08 0.10272
## 2 30 43.88 0.03768
## 3 40 47.41 0.16723
## 4 50 58.31 0.17032
##
##
## Elapsed time : 0.7056952
Możemy więc uznać model EGARCH(1,2) za odpowiedni. Oszacowania parametrów modelu wynoszą:
## omega alpha1 beta1 beta2 gamma1
## 0.06486186 -0.07773434 0.99999544 -0.09923998 0.20807388TGARCH(p,q)
Drugim wybranym do badania modelem z klasy GARCH(p,q) jest TGARCH(p,q). Model ten uwzględnia możliwość asymetrycznej reakcji wariancji na dodatnie i ujemne odchylenia losowe. Na początku został sprawdzony model TGARCH(1,1). Oszacowania modelu wyglądają następująco:
##
## *---------------------------------*
## * GARCH Model Fit *
## *---------------------------------*
##
## Conditional Variance Dynamics
## -----------------------------------
## GARCH Model : eGARCH(1,1)
## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm
##
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.067084 0.028106 2.3869 0.016993
## alpha1 -0.083013 0.029060 -2.8566 0.004282
## beta1 0.897964 0.042666 21.0464 0.000000
## gamma1 0.221850 0.061367 3.6152 0.000300
##
## Robust Standard Errors:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.067084 0.041012 1.6357 0.101900
## alpha1 -0.083013 0.042117 -1.9710 0.048723
## beta1 0.897964 0.057786 15.5395 0.000000
## gamma1 0.221850 0.069988 3.1698 0.001525
##
## LogLikelihood : -1056.665
##
## Information Criteria
## ------------------------------------
##
## Akaike 3.4160
## Bayes 3.4445
## Shibata 3.4159
## Hannan-Quinn 3.4271
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 12.02 5.251e-04
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 15.35 7.410e-05
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 20.15 1.759e-05
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 0.2595 0.6105
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 1.6445 0.7044
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 2.4621 0.8433
## d.o.f=2
##
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
## Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[3] 0.5575 0.500 2.000 0.4553
## ARCH Lag[5] 1.4534 1.440 1.667 0.6046
## ARCH Lag[7] 1.7535 2.315 1.543 0.7693
##
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic: 0.9904
## Individual Statistics:
## omega 0.5018
## alpha1 0.2296
## beta1 0.2005
## gamma1 0.2771
##
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic: 1.07 1.24 1.6
## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
##
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
## t-value prob sig
## Sign Bias 2.436 0.01511 **
## Negative Sign Bias 1.167 0.24371
## Positive Sign Bias 1.828 0.06803 *
## Joint Effect 6.344 0.09602 *
##
##
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
## group statistic p-value(g-1)
## 1 20 26.31 0.12176
## 2 30 41.66 0.06027
## 3 40 47.15 0.17373
## 4 50 62.82 0.08874
##
##
## Elapsed time : 0.09811211Nie wszystkie oszacowania parametrów w modelu TGARCH(1,1) są istotne. Został oszacowany model TGARCH(1,2).
##
## *---------------------------------*
## * GARCH Model Fit *
## *---------------------------------*
##
## Conditional Variance Dynamics
## -----------------------------------
## GARCH Model : fGARCH(1,2)
## fGARCH Sub-Model : TGARCH
## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
## Distribution : norm
##
## Optimal Parameters
## ------------------------------------
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.008759 0.002350 3.7281 0.000193
## alpha1 0.025315 0.008056 3.1426 0.001675
## beta1 0.619403 0.003035 204.0728 0.000000
## beta2 0.354189 0.000876 404.3542 0.000000
## eta11 1.000000 0.088437 11.3074 0.000000
##
## Robust Standard Errors:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## omega 0.008759 0.006396 1.3694 0.17087
## alpha1 0.025315 0.017307 1.4628 0.14354
## beta1 0.619403 0.008495 72.9169 0.00000
## beta2 0.354189 0.006906 51.2841 0.00000
## eta11 1.000000 0.683824 1.4624 0.14364
##
## LogLikelihood : -1056.542
##
## Information Criteria
## ------------------------------------
##
## Akaike 3.4188
## Bayes 3.4545
## Shibata 3.4187
## Hannan-Quinn 3.4327
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 9.136 0.0025069
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 11.655 0.0006984
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 15.699 0.0002882
## d.o.f=0
## H0 : No serial correlation
##
## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
## ------------------------------------
## statistic p-value
## Lag[1] 1.021 0.3124
## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][8] 4.054 0.4973
## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][14] 5.631 0.6882
## d.o.f=3
##
## Weighted ARCH LM Tests
## ------------------------------------
## Statistic Shape Scale P-Value
## ARCH Lag[4] 2.666 0.500 2.000 0.1025
## ARCH Lag[6] 4.861 1.461 1.711 0.1217
## ARCH Lag[8] 4.990 2.368 1.583 0.2499
##
## Nyblom stability test
## ------------------------------------
## Joint Statistic: 0.8958
## Individual Statistics:
## omega 0.06619
## alpha1 0.05412
## beta1 0.04334
## beta2 0.04317
## eta11 0.13993
##
## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
## Joint Statistic: 1.28 1.47 1.88
## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
##
## Sign Bias Test
## ------------------------------------
## t-value prob sig
## Sign Bias 2.31527 0.02093 **
## Negative Sign Bias 0.09877 0.92135
## Positive Sign Bias 2.13284 0.03333 **
## Joint Effect 7.19881 0.06582 *
##
##
## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
## ------------------------------------
## group statistic p-value(g-1)
## 1 20 23.93 0.1989
## 2 30 33.35 0.2639
## 3 40 48.31 0.1459
## 4 50 48.81 0.4809
##
##
## Elapsed time : 0.329499Wszystkie oszacowania parametrów są istotne. Nie występują efekty ARCH a także dla wystandaryzowanych kwadratów reszt mamy podstawy do odrzucenia hipotezy mówiącej o tym, że kwadraty wystandaryzowanych reszt są skorelowane.
Korelogram potwierdza wynik testu Ljunga- Boxa. Nie zachodzi autokorelacja dla kwadratów wystandaryzowanych reszt.
Porównanie warunkowej wariancji i wartości narażonej na ryzyko VaR w okresie in-sample
Jednym z najważniejszych zastosowań modeli warunkowej jest estymacja prawdopodobieństwa wystąpienia wysokich strat. Stratę tego typu nazywa się wartości narażoną na ryzyko VaR (Value at Risk). Jest to strata, która zostaje przekroczona z prawdopodobieństwem równym alfa. Wyznaczenie VaR wiąże się z dwoma problemami- rozkład F() nie jest rozkładem normalnym, a także rozkład F() może ulega zmianom w czasie, czego przyczyną są zmiany warunkowej wariancji. Jest to dosyć niebezpieczna własność, ponieważ mogą sprawić, że straty się skumulują w krótkim czasie, co może wpłynąć na płynność instrumentów, instytucji finansowych. Poniżej dla analizowanych wcześniej modeli została oszacowana wartość narażona na ryzyko a także porównana z wartościami rzeczywistymi instrumentów z portfela. Będziemy bazować na wcześniej ustalonych przedziałach in-sample oraz out of sample. Do próby in-sample będą należeć obserwacje od 2007-10-09 do 2014-06-30. Aby obliczyć VaR, został policzony 1% kwantyl wystandaryzowanego rozkładu zwrotów
Przedstawione poniżej wykresy stanowią prognozy wartości narażonej na ryzyko w okresie in-sample dla szacowanych wcześniej modeli wraz rzeczywistymi dziennymi stopami zwrotu.
## [1] 0.004490058W przypadku modelu GARCH zwroty przekroczą VaR w 0,4% przypadków.
## [1] 0.004490058W przypadku modelu eGARCH zwroty przekroczą VaR w 0,19% przypadków.
## [1] 0.004490058W przypadku modelu TGARCH zwroty przekroczą VaR w 0,19% przypadków. Wartość ta dla modelu TGARCH(1,2) jest zbliżona eGARCH. W modelu GARCH(1,1) ta wartość jest większa jednak pozostaje zbliżona do wartości w innych modelach.
Wartość narażona na ryzyko w okresie out of sample
Poniżej znajdują się wykresy GARCH(1,1), eGARCH(1,2) oraz tGARCH(1,2) wraz z rzeczywistymi dziennymi stopami.
## [1] 0.003546099W przypadku modelu GARCH zwroty przekroczą VaR w 2,1% przypadków.
## [1] 0.004137116W przypadku modelu eGARCH zwroty przekroczą VaR w 2,5% przypadków.
## [1] 0.004137116W przypadku modelu tGARCH zwroty przekroczą VaR w 2% przypadków. Wartości tej statystyki są zbliżone w każdym modelu. Na podstawie tego kryterium nie można wybrać najlepszego modelu.
Analiza wrażliwości
Ta część badania miała na celu analizę prognozy wartości narażonej na ryzyko w zależności od długości badanego okresu. Analiza została wykonana modelem eGarch. Badane okresy wyniosły 6, 12 i 24 miesiące.
## [1] 0.008403361W przypadku modelu eGARCH w 6-miesięcznym okresie zwroty przekroczą VaR w 0,8% przypadków.
## [1] 0.02892562W przypadku modelu eGARCH w 12-miesięcznym okresie zwroty przekroczą VaR w 2,89% przypadków.
## [1] 0.02494802W przypadku modelu eGARCH w 24-miesięcznym okresie zwroty przekroczą VaR w 2,49% przypadków. Jest to zbliżony wynik do wartości z 12-miesięcznego okresu.
Podsumowanie
Podczas badania ryzyka portfela zrównoważonego do porównania został wykorzystany standardowy model GARCH(p,q) a także dwa jego rozszerzenia eGARCH(p,q) oraz tGARCH(p,q). Dla standardowego modelu GARCH(p,q) nie udało siędobrać takich wartości p i q, aby model spełniał najważniejsze wytyczne modelu. W przypadku rozszerzeń eGARCH i tGARCH- za najlepsze modele zostały uznane eGARCH(1,2) oraz tGARCH(1,2). Oszacowane modele posłużyły do zbudowania prognoz wartości narażonych na ryzyko w okresie in-sample oraz out of sample. Dla prognoz w okresie in- sample wartość narażona na ryzyko dla modeli tGARCH(1,2) oraz eGARCH(1,2) kształtuje się na podobnym poziomie. Otrzymane wyniki dla prognoz out of sample świadczą, że czas na jaki przeprowadzane są prognozy ma wpływ na wartość narażoną na ryzyko.