Tablas de contingencia, probabilidades, independencia e inferencia
Peter Olejua
2017 septiembre 01
Idea
- Estudiar la asociación entre X e Y
- Existencia de la asociación. Por ejemplo, rechazar la hipótesis nula en una ANOVA, rechazar la independencia.
- Medir la fuerza de la asociación. Medidas e intervalos
Estructura de probabilidad en tablas de contingencia
- \(X\) variable categórica con \(I\) categorías
- \(Y\) variable categórica con \(J\) categorías
Si \(X\) e \(Y\) son ambas variables respuesta interesa su distribución conjunta que además determina la marginal y condicional. Si \(X\) es explicativa e \(Y\) es respuesta interesa sobretodo la distribución condicional de \(Y|X\).
La tabla de contingencia \(IxJ\) es la tabla de frecuencias observadas en cada combinación de las categorías de las variables \(X\) e \(Y\).
Distribución conjunta
Sea \(\pi_{ij}\) la probabilidad de que \((X,Y)\) ocurra en la celda \(ij\) al distribución de probabilidades \(\left \{ \pi_{ij} \right \}\) en la distribuciónn de probabilidades conjunta de X e Y.
Distrubución margianal
Se refiere a la distribución de los totales por fila (\(\left \{ \pi_{i+} \right \}\)) o columna (\(\left \{ \pi_{+j} \right \}\)).
Distribución condicional
Las probabilidades \(\left \{ \pi_{1|i},...,\pi_{J|i} \right \}\) forman la distribución condicional de \(Y\) dada la categoría \(i\) de \(X\).
Relación entre las tres
\[\pi_{j|i}=\frac{\pi_{ij}}{\pi_{i+}}\] 
Independencia de variables categóricas
Dos variables categóricas respuestas son independientes cuando todas las probabilidades conjuntas son iguales a la multiplicación de las respectivas probabilidades marginales
\[\pi_{ij}=\pi_{i+}\pi_{+j}\]
Esto implica que cada distribución condicional de Y es igual a la distribución marginal de Y. Para todo \(i\),
\[\pi_{j|i}=\frac{\pi_{ij}}{\pi_{i+}}=\frac{\pi_{i+}\pi_{+j}}{\pi_{i+}}=\pi_{+j}\]
Variando i, X e Y son independientes cuando para todo j, \[\pi_{j|1}=...=\pi_{j|I}=\pi_{+j}\]
Lo que se conoce como homogeneidad de las distribuciones condicionales
Probar independencia (Marginal)
Para n grande,
- Chi² Pearson
- G² de razón de verosimilitud (Deviance)
Para n pequeño, métodos exactos no paramétricos
- F de Fisher
Esquemas de muestreo
Poisson sampling
Todas las celdas independientes sin ninguna restricción
\[P(Y_{ij}=n_{ij})=\prod_i\prod_j exp(-\mu_{ij})\mu_{ij}^{n_{ij}}/n_{ij}!\]
Multinomial sampling
- Cuando el tamaño total de la muestra \(n\) es fijo,
\[P(Y_{ij}=n_{ij})=\frac{n!}{n_{11}!...n_{11}!}\prod_i\prod_j\pi_{ij}^{n_{ij}}\]
Multinomial independent sampling
- Cuando los margenes por filas (columnas) son fijos e independientes (usamos la notación \(n_i=n_{i+}\)),
\[P(Y_{ij}=n_{ij})=\prod_i \left [ \frac{n_i!}{\prod_j n_{ij}!} \prod_j \pi_{j|i}^{n_{ij}} \right ]\]
Esta distribución también se usa cuando X es una variable explicativa y no se cumplen las dos primeras distribuciones.
Hipergeométrica
Cuando ambos margenes son fijos.
Tipo de estudio
Prospectivos: Ensayos clíncios y estudios de cohorte. Se condiciona en los totales \(n_i\) de X. Cada fila de J conteos es Indepentent multi sobre Y.
Retrospectivos: Los totales \(\{n_{+j}\}\) son fijos para Y cada columna de I conteos tiene distribución multinomial sobre X.
Cross-sectional: El total \(n\) es fijo. Multinomial sampling.
Muestras pequeñas y tablas de contingencia de dos vías
Cuando el tamaño de la muestra \(n\) o el número de observaciones en cada celda es pequeño las distribciones de \(X²\) y \(G²\) no se aproximan bien a la distribución Chi-cuadrado y los p-valores no son confiables. En estas situaciones es posible hacer inferencias basandonos en las distribuciones exactas (o aproximaciones) de las celdas luego de escoger un esquema muestral. Como desventaja tenemos que los p-valores excatos pueden ser conservativos (no rechazar).
Podemos usar pruebas exactas cuando,
Fomalmente, la indeferencia es incondicional, i.e. cuando el diseño del estudio tiene un esquema muestral hipergeométrico (ambos margenes naturalemente fijos).
\(n\) es pequeño.
Más del 20% de las celdas tienen un valor esperado de menos de 5 y ningún valor esperado es cero.
Nota: Incluso si la distribución no es hipergeométrica se puede condicionar sobre los margenes y realizar el análisis como si fueran fijos (inferencia condicional) cuando \(n\) es pequeño y las aproximaciones probablemente no funcionen bien. Al condicionar resulta una distribución hipergeométrica (\(s\) especiales en \(m\) lanzamientos sin remplazo de una población finita de tamaño \(P\) que ya continen \(S\) especiales y cuyo soporte es \(s \in \{max[0,m-(P-S)],...,min[m,S]\}\)). Esto es toda una discusión desarrollada en Agresti. Esta aproximación condicional consiste en eliminar los parámetros de ruido de una binomial independiente condicionando en los estadísticos suficientes de dichos parámetros. Brian Caffo habla un poco acerca de ello y otros temas relacionados en este video
Fisher’s Exact Test.
En el caso 2x2, note que todas las tablas que tienen el mismo margen (fijo o condicionado) están unívocamente determinadas por el valor de una de sus celdas (\(n_{11}\) por ejemplo). Ya sea que los margenes sean fijos o se condicione, en general, dicha casilla tendría una distribución que depende del OR. Bajo la hipótesis nula de independencia (OR=1) la distribución es hipergeométrica.
- P=n, el tamaño de la muestra
- \(S=n_{1+}\)
- \(P-S=n_{2+}\)
- \(m=n_{+1}\)
- \(s=n_{11}\)
Unilateral
Si \(s=n_{11}\) es un valor muy poco probable significa que los \(m\) conteos no ocurrieron de manera aleatoria y existe una asociación. La independencia es evaluada en término del OR. Por ejemplo, para probar OR>1, El p-valor es calculado como \(P(n_{11} \ge t_0)\), donde \(t_0\) es el valor observado en la casilla.
Ejemplo dama del té y su implementación en R
Bilateral
La aproximación más usada (Irwin 1935) es usar p-valor=\(P[p(n_{11}\leq p(t_0))]\). Esta es la opción implementada en R. Varias otras opciones existen y en R están implementadas en la librería exact2x2
P-valor-medio
Debido a que los datos son discretos pocos, también son relativamente pocos los p-valores posibles. Por lo tanto, las pruebas exactas son conservativas. Agresti propone para esto el uso del p-valor-medio definido como \(1/2*P(n_{11} = t_0) + P(n_{11} = \text{el valor más extremo})\).
OR no nulos
Cuando el OR=1 la distribución es hipergeométrica y se usa la prueba de excata de Fisher. En general, la distribución depende del OR y de los margenes. Desarrollada por Fisher, la distribución (condicional) de la primera casilla de la tabla de contingencia tiene distribución hipergeométrica no-central con parámetro de no-centralidad igual al OR.
Monte Carlo
Se usa cuando el número de tablas más extremas que la observada es muy grande
Test incondicionales
- Ver Agresti y Caffo
- Discusión entre Fisher los incondicionales
- Varias se encuentran implentadas en la librería
exact2x2
Medidas de asociación
Considere las probabilidades de éxito por filas \(\pi_{1|i}\) simplificada en notación a \(\pi_i\).
Riesgo realativo
Es la razón de la probabilidades de éxitos (enfermedad).
\[RR=\frac{\pi_1}{\pi_2}\] ## OR
La razón de odds en ambas categorías
\[OR=\frac{\frac{\pi_1}{1-\pi_1}}{\frac{\pi_2}{1-\pi_2}}\]
curve(expr = x/(1-x), from = 0, to = 1)
curve(expr = log(x/(1-x)), from = 0, to = 1)
estimación de Woolf (1955) de la varianza (revisar),
\[V_f=var(log(OR))=1/n_{11} + 1/n_{12} +1/n_{21} +1/n_{22}\]
Intervalo de confianza
\[exp(log(or) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{V_f})\]
Relación entre RR y OR
\[OR=RR\frac{1-\pi_2}{1-\pi_1}\] Son similiares cuando las probablidades de éxito \(\pi_i\) son cercanas a cero en ambos grupos
Aproximación de eventos raros (cuando \(p_2<10%\))
Importante para tamaño de muestra
\[RR = OR * \frac{1+(n_{21}/n_{22})}{1+(n_{11}/n_{12})}=OR/[(1-p_2)+(p_2*OR)]\]
Eventos comunes (comparación de incidencias)
comparar \(p_1\) vs \(p_2\)
Análisis estratificado
La idea es analizar la asociación entre \(X\) e \(Y\) controlando por otra posible variable de confusión \(Z\).
Tablas parciales, marginales y asociaciones condicionales
Tablas parciales: Tablas de contingencia de dos vias par \(X\) e \(Y\) en la categoría \(k\) de \(Z\). Las asociaciones en estas tablas son llamdas asociaciones condicionales (en \(k\))
Tabla marginal: Tabla de de contingencia entre \(X\) e \(Y\) ignorando \(Z\).
Odds ratios marginales y condicionales
Se refiere a los OR crudos y en cada estrato.
Independencia marginal vs condicional
Se \(X\) e \(Y\) son independientes en la tabla parcial \(k\), entonces se dice que \(X\) e \(Y\) son condicionalmente independientes en el nivel \(k\) de \(Z\) (Independencia en el estrato). Cuando \(X\) e \(Y\) son condicionalmente independientes en todos las categorías \(k\), se dice que \(X\) e \(Y\) son condicionalmente independientes dada \(Z\) (Independencia en todos los estratos).En una tabla \(2*2*K\) esto es uquivalente a que los OR condicionales sean 1.
Independencia condicional no implica indepencia marginal (Yule 1903, mención en agresti). Esto es, independecia en todos los estratos de \(Z\) no implica independencia cruda (ignorando \(Z\)).
Para probarla se usa Cochran-Mantel-Haenszel Test
Asociación Homogénea
Una tabla \(2*2*K\) tiene una asociación XY homogénea si los OR condicionales son iguales
\[\Theta_{XY(1)}=\Theta_{XY(2)}=...=\Theta_{XY(K)}\] La homogeneidad es una propiedad simétrica. Aplica para cualquier par de variables vistas a través de las categorías de una tercera. Cuando ocurre se dice que no hay interacción entre las dos variables en su efecto sobre la tercera. Que haya interacción entre dos variables sobre una tercera significa que los OR condicionales de cualquier par de variables cambian por las categorías de la tercera. Arriba por ejemplo, si no se cumple la igualdad hay una interacción entre X y Z sobre Y. Z es un efecto modificador.
Independencia condicional (dada \(Z\)) es un caso particular cuando \(\Theta_{XY(k)}=1\). De igual manera homogeneidad no implica el Or marginal sea igual al Or común. Esto sucede cuando el Or es colapsable (ver Agresti)
Notas de clase
Marco muestral
- Muestra aleatoria estratifica de 2 grupos independientes
- Ciudad 1 y 2, Problemas ambientales si o no.
- Dos binomiales independientes
- Una muestra aleatoria grupo de personas reponen si asisten al odontólogo, medico o los dos.
Multinomial con respuesta cruzada
- Asignación aleatoria de pacientes a dos o más grupos
placepo <- c(16,48)
experimental <- c(40,20)
tabla <- rbind(placepo,experimental)
colnames(tabla) <- c("Sí", "No")
library(epitools)
round(epitab(tabla, method = "riskratio")$tab, 3) Sí p0 No p1 riskratio lower upper p.value
placepo 16 0.250 48 0.750 1.000 NA NA NA
experimental 40 0.667 20 0.333 0.444 0.302 0.653 0round(epitab(tabla, method = "oddsratio")$tab, 3) Sí p0 No p1 oddsratio lower upper p.value
placepo 16 0.286 48 0.706 1.000 NA NA NA
experimental 40 0.714 20 0.294 0.167 0.076 0.364 0Caer en cada \(n_{ij}\) casilla sigue una distribución hipergeométrica (N=124)
Al analizar por fila la hipótesis nula es que los tratamientos son iguales respecto a los efectos de mejoría.
Al analizar por columna probamos la hipótesis nula de que la aleatorización estuvo bien.
\[P(n_{ij}) = \frac{n_{1+}!n_{2+}!n_{+1}!n_{+2}!}{n!n_{11}!n_{12}!n_{21}!n_{22}!}\]
\[E(n_{ij}|H_o)= \frac{n_{i+}n_{+j}}{n}=m_{ij}\]
\[V(n_{ij}|H_o)=\frac{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}{n^2(n-1)}=V_{ij}\]
\[n_{ij} \approx N(m_{ij}, V_{ij})\] ## Chi² de M-H para aleatorización
\[Q_{11}=\frac{(n_{11}-m_{11})^2}{V_{11}} \approx \chi_1\]
Chi² de Pearson
\(Q_{ij}\) → \(Q_p\)
\[Q_p=\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \frac{(n_{ij}-m_{ij})^2}{m_{ij}}=n/(n-1)Q\]
Tarea
Encontrar intervalo de confianza para \(p_1-p_2\) Calcular Q de pearson y aleatorización.
Manual
n <- sum(tabla)
M_ij <- rowSums(tabla)%*%t(colSums(tabla))/n
V_ij <- prod(rowSums(tabla))*prod(colSums(tabla))/(n^2*(n-1))
(Q_ij <- (tabla - M_ij)^2/V_ij ) Sí No
placepo 21.53361 21.53361
experimental 21.53361 21.53361(Q_p <- (tabla - M_ij)^2/M_ij) Sí No
placepo 5.760369 4.743833
experimental 6.144393 5.060089sum(Q_p)[1] 21.70868\[d=p_1-p_2\] \[E(p1-p2)=\pi_1-\pi_2\] \[V(p1-p2)=\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_{1+}}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_{2+}}\]
\[V_d=\frac{p_1(1-p_1)}{n_{1+}-1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_{2+}-1}\]
IC \(100(1-\alpha)%\)
\[d \pm \left \{ Z_{\alpha /2 } \sqrt{V_d} + \frac{1}{2} (\frac{1}{n_{1+}}+\frac{1}{n_2+}) \right \}\]
Implementado
chisq.test(tabla, correct = F)
Pearson's Chi-squared test
data: tabla
X-squared = 21.709, df = 1, p-value = 3.174e-06library(DescTools)
MHChisqTest(tabla)
Mantel-Haenszel Chi-Square
data: tabla
X-squared = 21.534, df = 1, p-value = 3.477e-06H1_mh: diferencias en debido a los tratamientos
library(epiR)
res <- epi.2by2(tabla)
print(res) Outcome + Outcome - Total Inc risk *
Exposed + 16 48 64 25.0
Exposed - 40 20 60 66.7
Total 56 68 124 45.2
Odds
Exposed + 0.333
Exposed - 2.000
Total 0.824
Point estimates and 95 % CIs:
-------------------------------------------------------------------
Inc risk ratio 0.38 (0.24, 0.59)
Odds ratio 0.17 (0.08, 0.36)
Attrib risk * -41.67 (-57.63, -25.70)
Attrib risk in population * -21.51 (-36.30, -6.71)
Attrib fraction in exposed (%) -166.67 (-322.64, -68.25)
Attrib fraction in population (%) -47.62 (-72.30, -26.47)
-------------------------------------------------------------------
X2 test statistic: 21.709 p-value: < 0.001
Wald confidence limits
* Outcomes per 100 population units Intervalos
Solo para muestras probabilisticas o aleatorización
prop.test(tabla)
2-sample test for equality of proportions with continuity
correction
data: tabla
X-squared = 20.059, df = 1, p-value = 7.509e-06
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
-0.5924430 -0.2408903
sample estimates:
prop 1 prop 2
0.2500000 0.6666667 library(PropCIs)
# Score
diffscoreci(x1 = tabla[2,1], n1 = rowSums(tabla)[2],
x2 = tabla[1,1], n2 = rowSums(tabla)[1], .95)
data:
95 percent confidence interval:
0.2460145 0.5626554# Wald
wald2ci(x1 = tabla[2,1], n1 = rowSums(tabla)[2],
x2 = tabla[1,1], n2 = rowSums(tabla)[1], .95, adjust = 'Wald') # ejemplo agresti
data:
95 percent confidence interval:
0.2570362 0.5762972
sample estimates:
experimental
0.4166667 libros de experimentos clínicos
- clinical trials, Friedman
- Clinical trials, Meinnert
Analisis estratificado
En general una tabla \(n_{hij}\), \(n_{h+j}\), \(n_{hi+}\) y total \(n_h\) Para el estrato se usa \(h=1,...,q\).
Mejoría espiratoria en dos centros(Importa el centro -> Sesgo de…),
Distribución hipergeométrica en cada centro, globalmente es el producto de dos hipergeométricas.
placepo <- c(14,31)
experimental <- c(29,16)
centro1 <- rbind(placepo,experimental)
colnames(centro1) <- c("Sí", "No")
placepo <- c(24,21)
experimental <- c(37,8)
centro2 <- rbind(placepo,experimental)
colnames(centro2) <- c("Sí", "No")
library(epiR)
res <- epi.2by2(tabla)
print(res) Outcome + Outcome - Total Inc risk *
Exposed + 16 48 64 25.0
Exposed - 40 20 60 66.7
Total 56 68 124 45.2
Odds
Exposed + 0.333
Exposed - 2.000
Total 0.824
Point estimates and 95 % CIs:
-------------------------------------------------------------------
Inc risk ratio 0.38 (0.24, 0.59)
Odds ratio 0.17 (0.08, 0.36)
Attrib risk * -41.67 (-57.63, -25.70)
Attrib risk in population * -21.51 (-36.30, -6.71)
Attrib fraction in exposed (%) -166.67 (-322.64, -68.25)
Attrib fraction in population (%) -47.62 (-72.30, -26.47)
-------------------------------------------------------------------
X2 test statistic: 21.709 p-value: < 0.001
Wald confidence limits
* Outcomes per 100 population units library(epitools)
round(epitab(tabla, method = "riskratio")$tab, 3) Sí p0 No p1 riskratio lower upper p.value
placepo 16 0.250 48 0.750 1.000 NA NA NA
experimental 40 0.667 20 0.333 0.444 0.302 0.653 0round(epitab(tabla, method = "oddsratio")$tab, 3) Sí p0 No p1 oddsratio lower upper p.value
placepo 16 0.286 48 0.706 1.000 NA NA NA
experimental 40 0.714 20 0.294 0.167 0.076 0.364 0\(H_0:\) No hay diferencia en los tratamientos
\[E[n_{hij}|h_0]=\frac{n_{hi+}n_{h+j}}{n_h}=m_{hij}\]
\[Var[n_{hij}|h_0]=\frac{n_{hi+}n_{h+j}n_{h+i}n_{hj+}}{n_h²(n_h-1)}=V_{hij}\]
\[Q_{mh}=\frac{(\sum_{h=1}^q n_{h11} - \sum_{h=1}^q m_{h11})^2}{\sum_{h=1}^q V_{h11}}\]
equivalentemente
\[Q_{mh}=\frac{\sum_{h=1}^q (n_{h1+}n_{h2+}/n_h)(p_{h11}-p_{h21})^2}{\sum_{h=1}^q V_{h11}}\]
donde \(p_{hi1}=n_{hi1}/n_{hi+}\).
Cuando los tamaño por filas colapsados (tabla global colapsada) son grandes (>30)
- MH remueve la confusión da dada por variables de estratificación
- Proporciona un aumento en la potencia para detectar asociación en un estudio aleatorizado
- En un estudio observacional remueve el sesgo de confusión por solo ese estrato. Puede disminuir la potencia (tamaño de la muestra).
Tarea: Calcular Q
respiracion <-
as.table(array(c(29,14,
16,31,
37,24,
8,21),
dim = c(2,2, 2),
dimnames =
list(Grupo =
c("Experimento", "Placebo"),
"Mejora" =
c("Sí", "No"),
Centro = c("Centro1", "Centro2"))))
ftable(. ~ Centro + Grupo, respiracion) Mejora Sí No
Centro Grupo
Centro1 Experimento 29 16
Placebo 14 31
Centro2 Experimento 37 8
Placebo 24 21mantelhaen.test(respiracion)
Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction
data: respiracion
Mantel-Haenszel X-squared = 17.119, df = 1, p-value = 3.511e-05
alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
2.105716 7.708353
sample estimates:
common odds ratio
4.028846 respiracion, , Centro = Centro1
Mejora
Grupo Sí No
Experimento 29 16
Placebo 14 31
, , Centro = Centro2
Mejora
Grupo Sí No
Experimento 37 8
Placebo 24 21library(epiR)
res <- epi.2by2(respiracion)
res Outcome + Outcome - Total Inc risk *
Exposed + 66 24 90 73.3
Exposed - 38 52 90 42.2
Total 104 76 180 57.8
Odds
Exposed + 2.750
Exposed - 0.731
Total 1.368
Point estimates and 95 % CIs:
-------------------------------------------------------------------
Inc risk ratio (crude) 1.74 (1.32, 2.28)
Inc risk ratio (M-H) 1.74 (1.33, 2.27)
Inc risk ratio (crude:M-H) 1.00
Odds ratio (crude) 3.76 (2.01, 7.05)
Odds ratio (M-H) 4.03 (2.11, 7.71)
Odds ratio (crude:M-H) 0.93
Attrib risk (crude) * 31.11 (17.41, 44.81)
Attrib risk (M-H) * 31.11 (16.09, 46.13)
Attrib risk (crude:M-H) 1.00
-------------------------------------------------------------------
Test of homogeneity of IRR: X2 test statistic: 6.582 p-value: 0.01
Test of homogeneity of OR: X2 test statistic: 0 p-value: 0.99
Wald confidence limits
M-H: Mantel-Haenszel
* Outcomes per 100 population units res$res$OR.strata.score est lower upper
1 4.013393 1.678189 9.59804
2 4.046875 1.565276 10.42107res$res$OR.homog # Breslow-Day test: Hay homogeneidad test.statistic df p.value
1 0.0001562126 1 0.9900279DescTools::WoolfTest(respiracion)
Woolf Test on Homogeneity of Odds Ratios (no 3-Way assoc.)
data: respiracion
X-squared = 0.00015617, df = 1, p-value = 0.99res$res$OR.mh.wald # Intervalo para el OR común est lower upper
1 4.028846 2.105716 7.708353res$res$chisq.mh # Pero no son independientes test.statistic df p.value
1 17.119 1 3.510936e-05res$res$chisq.strata # No hay independencia condicional test.statistic df p.value
1 10.019792 1 0.001548669
2 8.598078 1 0.003365180Tarea - estratos homogéneos - Breslow-Day . Intervalos de confianza para OR-ajustado (o para \(\Phi_{mh}\))
Parcial
tabla <-
as.table(array(c(15,10,
15,20,
25,12,
5,18,
21,16,
9,14),
dim = c(2,2, 3),
dimnames =
list(Grupo =
c("Nuevo", "Estandar"),
"Mejora" =
c("Sí", "No"),
Peso = c("Normal", "Sobrepeso", "Obesidad"))))
ftable(. ~ Peso + Grupo, tabla) Mejora Sí No
Peso Grupo
Normal Nuevo 15 15
Estandar 10 20
Sobrepeso Nuevo 25 5
Estandar 12 18
Obesidad Nuevo 21 9
Estandar 16 14tabla, , Peso = Normal
Mejora
Grupo Sí No
Nuevo 15 15
Estandar 10 20
, , Peso = Sobrepeso
Mejora
Grupo Sí No
Nuevo 25 5
Estandar 12 18
, , Peso = Obesidad
Mejora
Grupo Sí No
Nuevo 21 9
Estandar 16 14mantelhaen.test(tabla)
Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction
data: tabla
Mantel-Haenszel X-squared = 11.081, df = 1, p-value = 0.0008721
alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
1.588472 5.475389
sample estimates:
common odds ratio
2.949153 library(epiR)
res <- epi.2by2(tabla,)
res Outcome + Outcome - Total Inc risk *
Exposed + 61 29 90 67.8
Exposed - 38 52 90 42.2
Total 99 81 180 55.0
Odds
Exposed + 2.103
Exposed - 0.731
Total 1.222
Point estimates and 95 % CIs:
-------------------------------------------------------------------
Inc risk ratio (crude) 1.61 (1.21, 2.13)
Inc risk ratio (M-H) 1.61 (1.22, 2.12)
Inc risk ratio (crude:M-H) 1.00
Odds ratio (crude) 2.88 (1.57, 5.29)
Odds ratio (M-H) 2.95 (1.59, 5.48)
Odds ratio (crude:M-H) 0.98
Attrib risk (crude) * 25.56 (11.51, 39.60)
Attrib risk (M-H) * 25.56 (10.44, 40.68)
Attrib risk (crude:M-H) 1.00
-------------------------------------------------------------------
Test of homogeneity of IRR: X2 test statistic: 7.058 p-value: 0.029
Test of homogeneity of OR: X2 test statistic: 3.356 p-value: 0.187
Wald confidence limits
M-H: Mantel-Haenszel
* Outcomes per 100 population units res$res$RR.strata.score est lower upper
1 1.500000 0.8214370 2.829757
2 2.083333 1.3634196 3.455927
3 1.312500 0.8766378 2.031651res$res$OR.homog # Breslow-Day test: Hay homogeneidad test.statistic df p.value
1 3.355565 2 0.1867877DescTools::WoolfTest(respiracion)
Woolf Test on Homogeneity of Odds Ratios (no 3-Way assoc.)
data: respiracion
X-squared = 0.00015617, df = 1, p-value = 0.99res$res$OR.mh.wald # Intervalo para el OR común est lower upper
1 2.949153 1.588472 5.475389res$res$chisq.mh # Pero no son independientes test.statistic df p.value
1 11.0811 1 0.0008721195res$res$chisq.strata # No hay independencia condicional test.statistic df p.value
1 1.714286 1 0.1904302638
2 11.915394 1 0.0005567197
3 1.762632 1 0.1842965374