Taller 1 Lógica Difusa
Daniel Alexander Cano Cuartas, Nicolas Buitrago Beltrán, Sebastián Pino Sanchéz
Punto 1
Datos: Proyecciones de población por departamento en Colombia
| DP | Departamento | X2017 |
|---|---|---|
| 5 | Antioquia | 6613118 |
| 8 | Atlántico | 2517897 |
| 11 | Bogotá, D.C. | 8080734 |
| 13 | Bolívar(1)(3) | 2146696 |
| 15 | Boyacá | 1279955 |
| 17 | Caldas | 991860 |
| 18 | Caquetá | 490056 |
| 19 | Cauca(1)(3) | 1404205 |
| 20 | Cesar | 1053475 |
| 23 | Córdoba (1)(3) | 1762530 |
| 25 | Cundinamarca | 2762784 |
| 27 | Chocó(2) | 510047 |
| 41 | Huila | 1182944 |
| 44 | La Guajira | 1012926 |
| 47 | Magdalena | 1285384 |
| 50 | Meta | 998162 |
| 52 | Nariño | 1787545 |
| 54 | Norte de Santander | 1379533 |
| 63 | Quindio | 571733 |
| 66 | Risaralda | 962529 |
| 68 | Santander | 2080938 |
| 70 | Sucre | 868438 |
| 73 | Tolima | 1416124 |
| 76 | Valle del Cauca | 4708262 |
| 81 | Arauca | 267992 |
| 85 | Casanare | 368989 |
| 86 | Putumayo | 354094 |
| 88 | Archipiélago de San Andrés | 77759 |
| 91 | Amazonas | 77948 |
| 94 | Guainía | 42777 |
| 95 | Guaviare | 114207 |
| 97 | Vaupés | 44500 |
| 99 | Vichada | 75468 |
Marco de cognición lo conformarán 3 conjuntos difusos: Poca Población, Población grande, Población muy grande
Las funciones de pertenencia se harán de acuerdo a un estudio:
Población por departamento Tomado de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Departamentos_de_Colombia_por_Poblacion_2012.png
Se usará azul más claro para representar poca población (10.000+), azul de tono medio para población grande(500.000+) y azul oscuro para población muy grande (+5’000.000+)
Definición de conjuntos difusos
Poca población.
Tomando en cuenta el estudio, se puede inferir que poca población esta entre los 10.000 y 100.000 personas, con lo que esto sería el núcleo, luego a partir de 100.000 hasta 500.000 personas ya empezarían a bajar los grados de pertenencia, entonces el soporte de este conjunto sería 500.000.
De esta forma este conjunto se representa como:
\[ Poca \rightarrow HombroIzquiero (10.000,100.000,500.000)\]
Población grande
Tomando en cuenta el estudio, se puede inferir que para la población grande, los grados de pertenencia empiezan a subir a partir de 100.000 personas, con lo que esto el inicio del soporte, luego a partir de 500.000 hasta 1’000.000 de personas conformaría el núcleo. Finalmente, a partir de 1’000.000 hasta 5’000.000 de personas empezaría a bajar los grados de pertenencia para este conjunto.
De esta forma este conjunto se representa como:
\[ Grande \rightarrow Trap(100.000,500.000,1'000.000,5'000.000)\]
Población muy grande
Tomando en cuenta el estudio, se puede inferir que la población muy grande a partir de 1’000.000 de personas ya empezarían a subirlos grados de pertenencia, entonces el soporte de este conjunto sería 1’000.000. Luego el inicio del nucleo lo conformaría a partir 5’000.000 habitantes.
De esta forma este conjunto se representa como:
\[ MuyGrande \rightarrow HombroDerecho(1'000.000,5'000.000)\]
Gráfica
Ejemplo De acuerdo a los datos, Antioquia que tiene una población de 6’613.118 habitantes, con lo cual la población de Antioquia tenía un grado de pertenencia 1 en el conjunto difuso de Población muy grande.
Punto 2
Veamos que existe un \(s\) tal que la suma de los grados de pertenencia de un conjunto forma una s-conorma.
Sean:
\(A,B,C,D \in P(U)\) donde \(U\) es el universo del discurso y \(P(U)\) son las particiones difusas de \(U\)
\(x \in U\)
\(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x), \mu_{C}(x), \mu_{D}(x)\) grados de pertenenencia de \(x\) en los conjuntos \(A,B,C,D\)
Además, Sean:
\[s: [0,1] \times [0,1] \rightarrow [0, 1] \] \[(\mu_{A}(x),\mu_{B}(x)) \rightarrow s(\mu_{A}(x),\mu_{B}(x)) = \mu_{A}(x) + \mu_{B}(x)\]
Conmutatividad
Como \(s(\mu_{B}(x),\mu_{A}(x)) = \mu_{B}(x) + \mu_{A}(x) = \mu_{A}(x) + \mu_{B}(x)\) entonces se tiene conmutatividad \(s(\mu_{A}(x),\mu_{B}(x)) = s(\mu_{B}(x),\mu_{A}(x))\)
Asociatividad
\(s(\mu_{A}(x), s(\mu_{B}(x), \mu_{C}(x))) = \mu_{A}(x) + (\mu_B(x) + \mu_{C}(x))\) como la suma es asociativa entonces \[\mu_{A}(x) + (\mu_{B}(x) + \mu_{C}(x)) = (\mu_{A}(x) + \mu_{B}(x)) + \mu_{C}(x) = s(s(\mu_{A}(x),\mu_{B}(x)), \mu_{C}(x))\] luego se tiene asociatividad \[s(\mu_{A}(x), s(\mu_{B}(x), \mu_{C}(x)))= s(s(\mu_{A}(x),\mu_{B}(x)), \mu_{C}(x))\]
Monotonía
Si \(\mu_{A}(x) < \mu_{C}(x) \land \mu_{B}(x) < \mu_{D}(x)\) entonces \(\mu_{A}(x) + \mu_{B}(x) < \mu_{C}(x) + \mu_{D}(x) \rightarrow s(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x)) < s(\mu_{C}(x),\mu_{D}(x))\) por lo tanto se cumple que la condición de monotonía.
Elemento neutro
\(s(\mu_{A}(x), 0) = \mu_{A}(x) + 0 = \mu_{A}(x)\) se tiene elemento neutro.
De lo anterior se deduce que la suma de dos grados de pertenencia es una “s-conorma”
Ahora supongamos que se tiene un conjunto difuso \(A\) normal, si el conjunto difuso cumple la restricción de complementariedad y entonces se tiene que \(Altura(A) = 1\) y \(\exists Y \in P(U)\) tales que \(\mu_{Y}(x)= 1 - \mu_{A}(x)\)
Luego \(s(\mu_{A}(x), \mu_{Y}(x)) = \mu_{A}(x) + \mu_{Y}(x) = \mu_{A}(x) + 1 - \mu_{A}(x) = 1 = Altura(A)\)
Entonces \(s\) puede ser usada en lugar de la altura, si se cumple la restricción de complementariedad y demás restricciones para un marco de cognición bien estructurado.
Punto 3
Utilidad de la propiedad de dualidad entre los operadores de conjunción y disyunción
La propiedad de dualidad es útil para transformar operaciones entre conjuntos difusos que pueden ser dificiles de tratar, en proposiciones equivalentes más simples. Por ejemplo cuando se intenta hallar los grados de pertenencia de una determinada operación, puede ser mas fácil hacerlo con su negacion; usando la propiedad de dualidad la negación se “distribuye” a lo largo de una conjunción y/o disyunción.
¿Es preferible el cumplimiento de esa propiedad a otras propiedades como el medio excluido?
Depende de las operaciones que se requieran hacer con los conjuntos, por ejemplo en el punto anterior se hizo uso una s-conorma que tenía la propiedad de medio excluido para sustituir el grado de pertenencia máximo. Si la s-conorma anterior hubiera tenido la propiedad de dualidad en vez de la propiedad de medio exluido no se hubiera podido sustituir el valor máximo(Podemos asegurar que \(\mu_{Y}(x)= 1 - \mu_{A}(x)\)).
Punto 4
Sean:
\(A \in P(U)\) un conjunto difuso en todas las particiones difusas
\(\mu_{A}(x)\) Es el grado de pertenencia de x en el conjunto difuso \(A\) definido como:
\[\mu_{A}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \\ 0 & si & x < 2 \\ \\ x-2 & si & 2 \leq x < 3\\ \\ -x+4 & si & 3 \leq x < 4\\ \\ 0 & si & x > 4 \\ \end{array} \right.\]
Una funcion triangular(2,3,4)
Si se hace la intersección mediante el operador \(max(\mu_{A}(x)+\mu_{A}(x)-1,0)\)
El resultado es
\[ \mu_{A \cap A}(x) = max(\mu_{A}(x)+\mu_{A}(x)-1,0) = \left\{ \begin{array}{lcc} \\ 0 & si & x < \frac{5}{2} \\ \\ 2x-5 & si & \frac{5}{2} \leq x < 3\\ \\ -2x+7 & si & 3 \leq x < \frac{7}{2} \\ \\ 0 & si & x > \frac{7}{2}\\ \end{array} \right. \neq \mu_{A}(X) \]
Una funcion triangular(\(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\)) De esta forma se prueba que este operador de intersección incumple la ley de idempotencia \[\mu_{A \cap A}(x)\neq \mu_{A}(x) \].
De igual forma, si se hace la unión mediante el operador \(min(1,\mu_{A}(x)+\mu_{A}(x))\) Probamos que también incumple la ley de idempotencia\[ \mu_{A \cup A}(x) \neq \mu_{A}(x)\] .
\[ \mu_{A \cup A}(x) = min(1,\mu_{A}(x)+\mu_{A}(x)) = \left\{ \begin{array}{lcc} \\ 0 & si & x < 2\\ \\ 2x-4 & si & 2 \leq x <\frac{5}{2} \\ \\ 1 & si & \frac{5}{2} \leq x < \frac{7}{2} \\ \\ -2x+8 & si & \frac{7}{2} \leq x < 4 \\ \\ 0 & si & x > 4 \\ \end{array} \right. \neq \mu_{A}(X) \]
Una funcion trapezoidal(2,\(\frac{5}{2}\), \(\frac{7}{2}\),4)
Punto 5
Se definen dos marcos de cognición para las variables lingüsticas EXPERIENCIA Y EDAD, las cuales contiene los siguientes conjuntos difusos:
EXPERIENCIA
\(Poco \rightarrow Hombro Izquierdo (0,2,4)\) \(Suficiente \rightarrow Trapecio (2,4,6,8)\) \(Mucha \rightarrow Hombro Derecho (6,8,10)\)
EDAD
\(Joven \rightarrow Hombro Izquierdo (18,25,30)\) \(Madura \rightarrow Trapecio (25,30,35,45)\) \(Mayor \rightarrow Hombro Derecho (35,45,60)\)
Los conjuntos tienes las siguientes gráficas:
Ahora se definen las reglas difusas para determinar la ELEGIBILIDAD (Esta última variable esta determinada por los conjuntos Poca, Moderada, Mucha) para una persona, las cuales son:
Sea \(P\) una persona con valores \(x,y\) donde \(x \in Dominio(EXPERIENCIA), y \in Dominio(EDAD)\)
1.Si \(\mu_{Poco}(x)> 0 , \mu_{Joven}(y)> \rightarrow P\) tiene Poca ELEGIBILIDAD.
2.Si \(\mu_{Poco}(x)> 0 , \mu_{Madura}(y)> \rightarrow P\) tiene Poca ELEGIBILIDAD.
3.Si \(\mu_{Poco}(x)> 0 , \mu_{Mayor}(y)> \rightarrow P\) tiene Poca ELEGIBILIDAD.
4.Si \(\mu_{Suficiente}(x)> 0 , \mu_{Joven}(y)> \rightarrow P\) tiene ELEGIBILIDAD moderada.
5.Si \(\mu_{Suficiente}(x)> 0 , \mu_{Madura}(y)> \rightarrow P\) tiene Mucha ELEGIBILIDAD.
6.Si \(\mu_{Suficiente}(x)> 0 , \mu_{Mayor}(y)> \rightarrow P\) tiene ELEGIBILIDAD moderada
7.Si \(\mu_{Mucha}(x)> 0 , \mu_{Joven}(y)> \rightarrow P\) tiene Mucha ELEGIBILIDAD.
8.Si \(\mu_{Mucha}(x)> 0 , \mu_{Madura}(y)> \rightarrow P\) tiene Mucha ELEGIBILIDAD.
9.Si \(\mu_{Mucha}(x)> 0 , \mu_{Mayor}(y)> \rightarrow P\) tiene Mucha ELEGIBILIDAD.