Watanabe本
の定理 7.4 (p.222) を証明してみる。
Jeffreysの事前分布を採用すると、次のいずれかが成り立つ。
関数 \(\varphi_1(w)\) がすべての \(w \in W\) に対して
\[ \varphi_1(w) \geq \sqrt{\det I(w)} = \varphi(w) \]
を満たすとする。ゼータ関数を
\[ \zeta_1(z) = \int K(w)^z \varphi_1(w) dz \]
で定義し、最大極を \(-\lambda_1\)、その位数を \(m_1\) と表す。
このとき、Remark 7.2 (2) (p.219) より、
\[ \lambda_1 < \lambda \]
または
\[ \lambda_1 = \lambda \ \ かつ \ \ m_1 \geq m \]
が成り立つ。したがって、
\[ \begin{align} \lambda_1 &= d/2 \\ m_1 &= 1 \end{align} \]
となるような関数 \(\varphi_1 (w)\) が存在することを示せば証明は完了する1。
特異点解消により
\[ K(w) = w_1^{2k_1}w_2^{2k_2}\dots w_b^{2k_b} \]
と表せる。ただし \(1 \leq b \leq d\) である。
対数密度比関数は
\[ f(x, w) = a(x,w) w_1^{k_1} w_2^{k_2} \dots w_b^{k_b} \]
と表せる。
ここで、
\[ r_i(x, w) = \begin{cases} \frac{\partial a}{w_i} + k_i a(x, w) & (1 \leq i \leq b) \\ \frac{\partial a}{w_i} & (b < i \leq d) \end{cases} \]
で定義される関数 \(r_i(x,w)\) を導入すると、対数密度比関数の偏微分は
\[ \frac{\partial f(x,w)}{\partial w_i} = \begin{cases} r_i(x,w)w_1^{k_1} \dots w_i^{k_i-1} \dots w_b^{k_b} & (1 \leq i \leq b) \\ r_i(x,w)w_1^{k_1} \dots w_b^{k_b} & (b < i \leq d) \end{cases} \]
となる。Fisher情報行列は
\[ \begin{align} I_{ij}(w) &= \int \frac{\partial f(x,w)}{\partial w_i} \frac{\partial f(x,w)}{\partial w_j} p(x|w) dx \\ &= \begin{cases} \left(w_1^{k_1} \dots w_i^{k_i-1} \dots w_b^{k_b}\right)\left( w_1^{k_1} \dots w_i^{k_j-1} \dots w_b^{k_b}\right) \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (1 \leq i,j \leq b) \\ \left(w_1^{k_1} \dots w_i^{k_i-1} \dots w_b^{k_b}\right)\left( w_1^{k_1} \dots w_b^{k_b}\right) \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (1 \leq i \leq b < j \leq d) \\ \left(w_1^{k_1} \dots w_b^{k_b}\right)^2 \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (b < i,j \leq d) \\ \end{cases} \\ &= \begin{cases} \frac{\left(\prod_{p=1}^b w_p^{k_p}\right)^2}{w_i w_j} \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (1 \leq i,j \leq b) \\ \frac{\left(\prod_{p=1}^b w_p^{k_p}\right)^2}{w_i} \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (1 \leq i \leq b < j \leq d) \\ \left(\prod_{p=1}^b w_p^{k_p}\right)^2 \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx & (b < i,j \leq d) \\ \end{cases} \end{align} \]
となる。ここで
\[ I^0_{ij} = \int r_i(x,w) r_j(x,w) p(x|w) dx \]
とおくと、Fisher情報行列は
\[ I_{ij}(w) = \begin{cases} \frac{1}{w_i w_j}\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & (1 \leq i,j \leq b) \\ \ \ \ \frac{1}{w_i} \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & (1 \leq i \leq b < j \leq d) \\ \ \ \ \ \ \ \ \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij}\ & (b < i,j \leq d) \\ \end{cases} \]
となる。したがって、Fisher情報行列の行列式は
\[ \begin{align} \det I(w) &= \det \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{w_i w_j}\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\ \ \ \frac{1}{w_i} \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \ \ \ \frac{1}{w_j} \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\ \ \ \ \ \ \ \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{\prod_{i=1}^b w_i} \det \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{w_j}\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{w_j} \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{\prod_{i=1}^b w_i} \frac{1}{\prod_{j=1}^b w_j} \det \left( \begin{array}{ccc} \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} & \dots &\prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \ I^0_{ij} \\ \end{array} \right) \\ &= \frac{1}{\prod_{i=1}^b w_i} \frac{1}{\prod_{j=1}^b w_j} \left( \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} \right)^d \det \left( \begin{array}{ccc} I^0_{ij} & \dots & I^0_{ij} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ I^0_{ij} & \dots & I^0_{ij} \\ \end{array} \right) \\ \\ &= \frac{1}{\prod_{p=1}^b w_p} \frac{1}{\prod_{p=1}^b w_p} \left( \prod_{p=1}^b w_p^{2dk_p} \right) \det I^0(w) \\ &= \prod_{p=1}^b w_p^{2dk_p - 2} \det I^0(w) \\ \end{align} \]
したがって、
\[ \sqrt{\det I(w)} = \prod_{p=1}^b w_p^{dk_p - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \]
が求まる。
まずは \(b=1\) の場合を考えると
\[ \sqrt{\det I(w)} = w_1^{dk_1 - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \]
ここで、任意の \(w\in W\) に対して \(\sqrt{\det I^0(w)} \leq c_1\) となる定数 \(c_1\) が存在するため
\[ \sqrt{\det I(w)} \leq c_1 w_1^{dk_1 - 1} \]
したがって
\[ \begin{align} K(w) &= w_1^{2k_1} \\ \varphi_1(w) &= c_1 w_1^{dk_1 - 1} \end{align} \]
とおくとゼータ関数は
\[ \begin{align} \zeta_1(z) &= \int K(w)^z \varphi_1(w) dz \\ &= \int \left( w_1^{2k_1} \right)^z c_1 w_1^{dk_1 - 1} dz \\ &= c_1 \int \left( w_1^{2k_1} \right)^z w_1^{dk_1 - 1} dz \\ \end{align} \]
定理6.5 (p.170)より
\[ \begin{align} k_1 &= k_1 \\ h_1 &= dk_1 - 1 \end{align} \]
なので
\[ \lambda_1 = \frac{h_1 + 1}{2 k_1} = \frac{dk_1}{2 k_1} = \frac{d}{2} \]
であり、その位数 \(m_1 = 1\) である。
したがって、\(\lambda_1 = d/2, \ m_1 = 1\) となる関数 \(\varphi_1(w)\) が存在する。
以上により \(b=1\) の場合が証明された。
変数変換 \(w = g(u)\) を次で定義する
\[ \begin{align} w_1 &= u_1 \\ w_2 &= u_2 u_1 \\ & \ \ \vdots \\ w_b &= u_b \dots u_1 \end{align} \]
定義より \(u_i = 0\) ならば \(I^0(g(u)) = 0\)。
\(\det I^0(g(u)) \geq 0\) は解析関数なので、定理 2.5 (p.66) より、定数 \(c_2 \geq 0\) が存在して
\[ \det I^0(g(u)) \leq c_2 u_1^2 \dots u_{b-1} ^ 2 \]
が成り立つ。ここで
\[ \begin{align} \sqrt{\det I(w)} &= \prod_{p=1}^b w_p^{dk_p - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= \prod_{p=1}^b \left(\prod_{q=1}^p u_q \right)^{dk_p - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= \prod_{p=1}^b \left(u_1 u_2 \dots u_p \right)^{dk_p - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= \left(u_1 \right)^{dk_1 - 1}\left(u_1 u_2 \right)^{dk_2 - 1} \dots \left(u_1 u_2 \dots u_b \right)^{dk_b - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= u_1^{dk_1 + dk_2 + \dots dk_b - b} u_2^{dk_1 + dk_2 + \dots +dk_{b-1} - (b-1)} \dots u_b^{dk_b - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= \prod_{p=1}^b u_p^{d(k_1 + \dots +k_{b - p + 1}) - (b - p + 1)} \sqrt{\det I^0(w)} \\ &= \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - b + p - 1} \sqrt{\det I^0(w)} \end{align} \]
である。ただし、定数 \(\sigma_p\) を
\[ \sigma_p = k_1 + k_2 + \dots + k_{b - p + 1} \]
で定義した2。
したがって、定数 \(c_3 > 0\) が存在して
\[ \begin{align} \sqrt{\det I(g(u))} &\leq \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - b + p - 1} c_3 \prod_{p=1}^{b-1} u_p \\ &= c_3 \prod_{p=1}^{b-1} u_p \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - b + p - 1} \\ \end{align} \]
となる。
\[ \begin{align} K(g(u)) &= \prod_{p=1}^b w_p^{2k_p} = \prod_{p=1}^{b} u_p ^ {2\sigma_p} \\ \varphi_1(g(u)) &= c_3 \prod_{p=1}^{b-1} u_p \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - b + p - 1} \\ |g'(u)| &= \prod_{p=1}^b u^{b-p} \end{align} \]
とすると、ゼータ関数は
\[ \begin{align} \zeta_1 (z) &= \int K(w)^z \varphi_1(w) dz \\ &= \int K(g(u))^z \varphi_1(g(u)) |g'(u)| dz \\ &= \int \left( \prod_{p=1}^{b} u_p ^ {2\sigma_p} \right)^z c_3 \prod_{p=1}^{b-1} u_p \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - b + p - 1} \prod_{p=1}^b u^{b-p} dz\\ &= c_3 \int \left( \prod_{p=1}^{b} u_p ^ {2\sigma_p} \right)^z \prod_{p=1}^{b-1} u_p \prod_{p=1}^b u_p^{d\sigma_p - 1} dz\\ \end{align} \]
定理6.5 (p.170)より
\[ \begin{align} k'_p &= \sigma_p\\ h_p &= \begin{cases} d\sigma_p & (1 \leq p < b) \\ d\sigma_b - 1 & (p = b) \end{cases} \end{align} \]
\[ \lambda_{1p} = \begin{cases} \frac{h_p + 1}{2 k'_p} = \frac{d\sigma_p + 1}{2 \sigma_p} = \frac{d}{2} + \frac{1}{2\sigma_p} & (1 \leq p < b) \\ \frac{h_b + 1}{2 k'_b} = \frac{d\sigma_b}{2 \sigma_b} = \frac{d}{2} & (p = b) \end{cases} \]
以上により最大極 \(-\lambda_1 = -\lambda_{1b} = -d/2\) でありその位数 \(m_1 = 1\) である。
したがって、
\[ \lambda_1 = d/2, \ \ m_1 = 1 \]
となる関数 \(\varphi_1 (w)\) が存在する。
以上により \(b \geq 2\) の場合についても証明された。
(証明終)