Watanabe本
の Remark 7.2 (2) (p.219) を証明してみる。
関数のペア \((K_1(w), \varphi_1(w))\) と \((K_2(w), \varphi_2(w))\) に対して、それぞれのゼータ関数を
\[ \zeta_i(z) = \int K_i(w)^z \varphi_i(w) dz \ \ (i = 1,2) \]
と定義する。\((-\lambda_1, m_1)\) と \((-\lambda_2, m_2)\) をそれぞれのゼータ関数の最大極とその位数とする。
すべての \(w \in W\) に対して
\[ \begin{align} K_1(w) &\leq K_2(w) \\ \varphi_1(w) &\geq \varphi_2(w) \end{align} \]
が成り立つとき1
\[ \lambda_1 < \lambda_2 \]
または2
\[ \lambda_1 = \lambda_2, \ \ m_1 \geq m_2 \]
が成り立つ3。
定理7.1 (2) (p.218)
\[ \lambda = - \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log\int \exp(-nK(w))\varphi(w)dw}{\log n} \]
より
\[ - \lambda_1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log\int \exp(-nK_1(w))\varphi_1(w)dw}{\log n} \geq \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log\int \exp(-nK_2(w))\varphi_2(w)dw}{\log n} = -\lambda_2 \]
したがって
\[ \lambda_1 \leq \lambda_2 \]
が成り立つ。
さらに \(\lambda_1 = \lambda_2\) のときは、定理7.1 (1) (p.218)
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^\lambda}{(\log n)^{m-1}} \int \exp(-nK(w)) \varphi(w) dw = c_1 \]
より
\[ \begin{align} \int \exp(-nK_1(w)) \varphi_1(w) dw &= O\left(\frac{(\log n)^{m_1-1}}{n^\lambda} \right) \\ \int \exp(-nK_2(w)) \varphi_2(w) dw &= O\left(\frac{(\log n)^{m_2-1}}{n^\lambda} \right) \\ \end{align} \]
であり、\(n^\lambda\) は同じなのでオーダーは \(m_1\) と \(m_2\) で決まる。条件より
\[ \int \exp(-nK_1(w)) \varphi_1(w) dw \geq \int \exp(-nK_2(w)) \varphi_2(w) dw \]
であるため
\[ m_1 \geq m_2 \]
が成り立つ(証明終)
原著では \(\lambda_1 > \lambda_2\) であるが、定理7.4の証明との整合性からミスプリントと思われる。↩
原著では \(m_1 \leq m_2\) であるが、定理7.4の証明との整合性からミスプリントと思われる。↩
\(\varphi_i(w)\) を事前分布と考えると \(\varphi_1(w) \geq \varphi_2(w)\) という条件は \(\varphi_1(w) = \varphi_2(w)\) のときしか成り立たない。この Remark で述べられているのはゼータ関数の性質であり \(\varphi_i(w)\) は事前分布である必要はない。記号に惑わされないようにしよう。↩