Spis Treści

  1. Wstęp
  2. Charakterystyka danych
  3. Estymacja modelu bazowego GARCH
  4. Estymacja modelu EGARCH
  5. Estymacja modelu GJRGARCH
  6. Porównanie wyników estymacji modeli GARCH, EGARCH, GJRGARCH
  7. Porównanie oszacowań warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie In-Sample
  8. Porównanie oszacowań warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie Out-Of-Sample
  9. Porównanie oszacowań Value-At-Risk na podstawie warunkowej wariancji otrzymanej z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie In-Sample
  10. Porównanie oszacowań Value-At-Risk na podstawie warunkowej wariancji otrzymanej z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie Out-Of-Sample

Wstęp

Celem poniższego raportu jest analiza ryzyka portfolio składającego się pięciu instrumentów finansowych. Ryzyko to rozumiane jest jako oszacowanie funkcji warunkowej wariancji w modelach GARCH. Do analizy oprócz podstawowego modelu GARCH wykorzystane zostały modele eGARCH oraz gjrGARCH.

Charakterystyka danych

Dane wykorzystane do badania pochodzą z serwisu stooq, badane portfolio składa się z pięcu instrumentów finansowych. Trzy z nich to ceny akcji Allianz, Aviva oraz Metlife. Dwa pozostałe to notowanie surowców, złota i srebra.

Zmienna portfolio

Tworzymy zmienną portfolio, w którym każdy z instrumentów ma równomierny wkład to jest 20% całości portfolio.

Następnie obliczamy jej ciągłe stopy zwrotu oraz tworzymy ich wykres

Na poniższym wykresie dobrze widać zjawisko grupowania się wariancji dla zwrotów z portfolio. Widać okresy dużego niepokoju, największy to oczywiście kryzys roku 2008, ale widać też pare okresów wyciszenia w których rynek był w miarę stabilny.

Następnie zobaczymy wykres ACF kwadratów zwrotów z portfolio, aby sprawdzić czy w zwrotach z portfolio występują efekty ARCH i czy poprawna formą analizy damych będą modele grupy GARCH.

Jak widać na powyższym wykresie istnieje autokorelacja wśród kwadratów zwrotów z portfolio co wskazuje na występowanie efektów ARCH. W kolejnej części przeprowadzimy testy statystyczne mające na celu potwierdzenie naszych przypuszczeń.

Testowanie czy zmienna ma rozkład normalny

Statystyki opisowe:

##             X..portfolio.r
## nobs           3965.000000
## NAs               1.000000
## Minimum          -0.129984
## Maximum           0.114322
## 1. Quartile      -0.005594
## 3. Quartile       0.006533
## Mean              0.000121
## Median            0.000271
## Sum               0.477765
## SE Mean           0.000205
## LCL Mean         -0.000281
## UCL Mean          0.000523
## Variance          0.000167
## Stdev             0.012910
## Skewness         -0.355040
## Kurtosis          9.830225

Po statystyce skośności równej -0.355040 widać, że rozkład jest asymetryczny prawostronnie. Natomiast kurtoza nadwyżkowa ma wartość 9.830225 co świadczy o pogrubionych ogonach rozkładu w stosunku do rozkładu normalnego.

Lepiej można to zabserwować na poniższym wykresie. Linia niebieska obrazuje rozkład normalny z parametrami oszacowanymi na podstawie pełnej próbki zwrotów.

Rozkład wygląda na leptokurtyczny!

Dla porównania zobaczmy histogram rozkładu normalnego:

oraz wykres quantile-quantile

Test Jarque-Bera

Statystyka Jarque-Bera ma wartość 16064 co jest równoznaczne z p-value 0 oznacza to, że odrzucamy hipoteze o rozkładzie normalnym naszej zmiennej, czyli potwierdzają się nasze wcześniejsze przypuszczenia. Następnie za pomocą testu Durbina-Watsona sprawdzimy czy w zwrotach z portfolio występuje autokorelacja.

Test Durbin-Watsona 

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      0.03208994      1.935382   0.028
##    2     -0.03315891      2.065614   0.034
##    3     -0.01305634      2.025270   0.370
##    4     -0.01443341      2.027923   0.310
##    5     -0.02740287      2.053834   0.080
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Następnie badamy czy w naszych danych występują efekty ARCH

Występowanie efektów ARCH 

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  portfolio$r
## Chi-squared = 731.08, df = 5, p-value < 2.2e-16

Widzimy, że p-value <0,05 więc silnie odrzucamy hipotezę o braku występowania efektów ARCH. Dobrze widoczne jest to również w poniższym tescie Durbina-Watsona dla kwadratów zwrotóW, gdzie na dla każdego opóźnienia silnie odrzucamy hipoteze o braku korelacji.

DW dla kwadratów zwrotów 

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1       0.1959388      1.608096       0
##    2       0.2624204      1.475122       0
##    3       0.3192985      1.361340       0
##    4       0.2752027      1.449504       0
##    5       0.2472744      1.505322       0
##    6       0.2361393      1.527552       0
##    7       0.1762682      1.647252       0
##    8       0.2471957      1.505374       0
##    9       0.2133629      1.573018       0
##   10       0.1987786      1.602149       0
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Klasyczny GARCH

Tworzymy trzy pogrupy zmiennej portoflio:

1.Próba dwuletnia

2.Próba czteroletnia

3.Próba roczna

Na początek specyfikacja modelu GARCH(1,1)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1} \]

Dla próby dwuletniej uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 2.240654710^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.1809108 oraz \(\beta_1=\) 0.5578136

Natomiast dla czteroletniej: \(\omega=\) 2.033068710^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.1532082 oraz \(\beta_1=\) 0.5731779

A dla rocznej: \(\omega=\) 2.333830410^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.1714409 oraz \(\beta_1=\) 0.5685467

Specyfikacja GARCH(1,2)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1}+ \beta_1h_{t-2} \]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 2.450622510^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.2068913, \(\beta_1=\) 0.2739951 oraz \(\beta_2=\) 0.2333516

Specyfikacja GARCH(1,3)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1}+ \beta_1h_{t-2} + \beta_1h_{t-3} \]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 2.448455410^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.2071621, \(\beta_1=\) 0.2703219, \(\beta_2=\) 0.2370799 oraz \(\beta_3=\) 4.849020710^{-7}

Dla każdego z modeli suma parametrów bez stałej nie przekracza jedności.Jednak jedynie dla pierwszego modelu, czyli GARCH(1,1) wszystkie parametry są istotne.

GARCH(1,1) GARCH(1,2) GARCH(1,3)
Akaike -6.5861951 -6.5831065 -6.5790112
Bayes -6.560555 -6.5489195 -6.5362776
Shibata -6.5862692 -6.5832378 -6.5792159
Hannan-Quinn -6.5761262 -6.5696812 -6.5622297

Na podstawie kryteriów informacyjnych wybieramy model GARCH(1,1) Zobaczymy jeszcze wykresy kwadratóW wystandaryzowanych reszt dla każdego z oszacowanych modeli. Nie powinny się one od siebie za bardzo różnić ze względu na to iż pierwszy model praktycznie w calości uwzględnia daną zmienność.

Dla modelu GARCH(1,1):

Dla modelu GARCH(1,2):

Dla modelu GARCH(1,3):

Diagnostyka modelu GARCH(1,1)

Test Ljunga-boxa dla wystandaryzowanych reszt

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  stdres
## X-squared = 3.6122, df = 4, p-value = 0.461

Test Durbina-Watsona

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      0.06568015      1.867342   0.170
##    2      0.01143471      1.973796   0.768
##    3      0.01235592      1.970719   0.800
##    4     -0.02609521      2.047231   0.532
##    5     -0.04485715      2.077397   0.280
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Oba powyższe testy pokazują, że wystandaryzowane reszty z modelu wolne są od autokorelacji. Sprawdzimy również czy dzięki zastosowaniu modelu GARCH pozbyliśmy się problemu wsytępowania efektów ARCH. W tym celu sprójrzymy na wykres ACF dla kwadratów standaryzowanych reszt. Widzimy, że jedynie dwa słupki wykraczają poza granice, co wskazywałoby na brak autokorelacji w kwadratach reszt, a zatem wyeiminowaniu efektów ARCH.

Przeprowadzimy jeszcze dwa formalne testy. Jeden na występowanie efektów ARCH oraz drugi na występowanie autokorelacji w kwadratach wystandaryzowaych reszt.

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  stdres
## Chi-squared = 2.4331, df = 5, p-value = 0.7865
##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1     0.049357542      1.900732   0.222
##    2    -0.031714082      2.062367   0.466
##    3     0.011352718      1.975661   0.784
##    4    -0.013290024      2.024030   0.768
##    5     0.028017379      1.937129   0.550
##    6     0.014562335      1.963244   0.724
##    7    -0.043457595      2.078523   0.180
##    8    -0.002421633      1.995236   0.978
##    9     0.045876466      1.897542   0.396
##   10    -0.006882182      1.987751   0.958
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Tak jak spodziewaliśmy się tego wcześniej oba testy potwierdzają brak autokorelacji w wystandaryzowanych resztach modelu, a co za tym idzie brak efektów ARCH. Jedynym problemem z którym nie mogliśmy sobie poradzić jest brak rozkładu normalnego reszt z modelu. Jest to jednak częsty problem w tego typu badaniach.

Statystyka Jarque-Bera ma wartość 60 co jest równoznaczne z p-value 0

Modele EGARCH

Specyfikacja modelu eGARCH(1,1)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ ln(h_t)=\omega + \beta_1ln(h_{t-1}) + \gamma_1\varepsilon_{t-1}/\sqrt(h_t) + \alpha_1[(|\varepsilon_{t-1}|/\sqrt(h_t))-\sqrt(2/\pi)] \]

Dla prób dwuletniej uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) -1.8889869, \(\alpha_1=\) -0.0440698, \(\beta_1=\) 0.7983302 oraz \(\gamma_1=\) 0.3103948

Natomiast dla czteroletniej: \(\omega=\) -0.1211715, \(\alpha_1=\) -0.0983951 oraz \(\beta_1=\) 0.9871091 \(\gamma_1=\) 0.0408998

A dla rocznej: \(\omega=\) -2.4967963, \(\alpha_1=\) 0.0932785 , \(\beta_1=\) 0.7325115 oraz \(\gamma_1=\) 0.4016357

Specyfikacja modelu eGARCH(1,2)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ ln(h_t)=\omega + \beta_1ln(h_{t-1}) + \beta_2ln(h_{t-1}) + \gamma_1\varepsilon_{t-1}/\sqrt(h_t) + \alpha_1[(|\varepsilon_{t-1}|/\sqrt(h_t))-\sqrt(2/\pi)] \]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) -1.7952243, \(\alpha_1=\) -0.1014364, \(\beta_1=\) 0.2386527 , \(\beta_2=\) 0.5695634 oraz \(\gamma_1=\) 0.3421609

Specyfikacja modelu eGARCH(1,3)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ ln(h_t)=\omega + \beta_1ln(h_{t-1}) + \beta_2ln(h_{t-1}) + \beta_3ln(h_{t-1}) + \gamma_1\varepsilon_{t-1}/\sqrt(h_t) + \alpha_1[(|\varepsilon_{t-1}|/\sqrt(h_t))-\sqrt(2/\pi)] \]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) -1.2633842, \(\alpha_1=\) -0.158917, \(\beta_1=\) -0.3146541 , \(\beta_2=\) 0.6327547 , \(\beta_3=\) 0.5468246 oraz \(\gamma_1=\) 0.2843986

Kryteria informacyjne dla modeli grupy eGARCH

eGARCH(1,1) eGARCH(1,2) eGARCH(1,3)
Akaike -6.5772824 -6.5805626 -6.5790672
Bayes -6.5430955 -6.537829 -6.5277869
Shibata -6.5774137 -6.5807673 -6.5793611
Hannan-Quinn -6.5638572 -6.5637811 -6.5589293

Powyższe wykresy są dla kolejnych modeli grupy eGARCH, widać że im więcej poprzednich wartości warunkowej wariancji uwzględnimy w jej równaniu tym

Diagnostyka modelu eGARCH(1,1)

Wydaje się, ze tak jak w przypadku standardowego modelu GARCH reszty nie mają rozkładu normalnego jednak w dalszej części potwierdzimy to jeszcze stosownymi testami statystycznymi.

Test Ljunga-boxa dla wystandaryzowanych reszt

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  stdres
## X-squared = 4.0194, df = 4, p-value = 0.4034

Test Durbina-Watsona dla wystandaryzowanych reszt

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1     0.070530720      1.857582   0.110
##    2     0.006406535      1.983945   0.866
##    3     0.014038013      1.967483   0.806
##    4    -0.032017009      2.059208   0.434
##    5    -0.043311186      2.074839   0.294
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Podobnie jak w przypadku standardowego modelu GARCH widać brak autokorelacji w wystandaryzownych resztach modelu. Jednak bardziej interesujące są dla kwadraty wystandaryzowanych reszt, ponieważ w przypadku braku autokorelacji możemy się spodziewać, że nasz model poprawnie wyjaśnił efekty ARCH i nie będą one już widoczne w resztach z modelu.

Sprójrzmy na wykres ACF dla kwadratów standaryzowanych reszt

Test Jarque-Bery dla wystandaryzowanych reszt

Statystyka Jarque-Bera ma wartość 67 co jest równoznaczne z p-value 0

Test na występowanie efektóaw ARCH wśród wystandaryzowanych reszt. Widać, że udało się wyeliminować efekty ARCH co potwierdza test Durbina-Watsona dla kwadratóW wystandaryzowanych reszt pokazując brak autokorelacji.

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  stdres
## Chi-squared = 3.7764, df = 5, p-value = 0.582
##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      0.06529473      1.868888   0.148
##    2     -0.03499712      2.068969   0.354
##    3      0.01870042      1.961006   0.598
##    4     -0.01923869      2.035987   0.618
##    5      0.02407040      1.945692   0.556
##    6      0.01613136      1.960806   0.634
##    7     -0.05069176      2.093699   0.162
##    8     -0.01169464      2.014360   0.720
##    9      0.03332872      1.923092   0.510
##   10     -0.01684838      2.010150   0.724
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Modele GJR GARCH

Specyfikacja modelu gjrGARCH(1,1)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1} \]

Dla portfolio dwuletniego uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 1.998635810^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.1015306, \(\beta_1=\) 0.6125545 oraz \(\gamma_1=\) 0.106055

Natomiast dla czteroletniej: \(\omega=\) 8.5029310^{-6}, \(\alpha_1=\) 0.0126081, \(\beta_1=\) 0.805755 oraz \(\gamma_1=\) 0.139341

A dla rocznej: \(\omega=\) 2.385638310^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.2299729, \(\beta_1=\) 0.5420543 oraz \(\gamma_1=\) -0.0694053

Specyfikacja modelu gjrGARCH(1,2)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1} + \beta_2h_{t-1} \]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 2.444945910^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.0863704, \(\beta_1=\) 0.0932027 , \(\beta_2=\) 0.4400861 oraz \(\gamma_1=\) 0.1894801

Specyfikacja modelu gjrGARCH(1,3)

Funkcja warunkowej wariancji ma następującą postać: \[ h_t=\omega + \alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\varepsilon_{t-1}^2 + \beta_1h_{t-1} + \beta_2h_{t-1} + \beta_3h_{t-1}\]

Uzyskano następujące parametry: \(\omega=\) 2.468143510^{-5}, \(\alpha_1=\) 0.0788395, \(\beta_1=\) 1.575278910^{-9} , \(\beta_2=\) 0.440081 , \(\beta_3=\) 0.0886795 oraz \(\gamma_1=\) 0.2083406

Kryteria informacyjne dla modeli grupy GJR GARCH

gjrGARCH(1,1) gjrGARCH(1,2) gjrGARCH(1,3)
Akaike -6.5855151 -6.5868926 -6.5829941
Bayes -6.5513282 -6.544159 -6.5317137
Shibata -6.5856464 -6.5870972 -6.583288
Hannan-Quinn -6.5720898 -6.570111 -6.5628562

Na podstawie kryteriów infromacyjnych jak i istotności parametrów oszacowanych w modelu wybieramy model gjrGARCH(1,1).

Diagnostyka modelu gjrGARCH(1,1)

Diagnostyka bardzo zbliżona do tej wykonanej dla dwóch poprzednich modeli na podstawie testów Ljunga-boxa oraz Durbina-Watsona stwierdzamy brak autokorelacji w wystanadryzowanych resztach z modelu. Natomiast test Durbina-Watsona dla kwadratów wystandaryzowanych reszt wskazuje na brak autokorelacji co mozna również zaobserwować na wykresie ACF dla kwadratów reszt. Wskazuje to na brak występowania efektów ARCH w resztach z modelu co potwierdza test ARCH. Jedynym problemem tak jak poprzednio pozostaje brak rozkładu normalnego wśród wystandaryzowanych reszt modelu co można zaobserwować na histogramie widać wyższe wartości wokół średniej niż w rozkładzie normalnym oraz grubsze ogony. Brak rozkładu normalnego potwierdza test Jarque-Bery.

Test Ljunga-boxa dla wystandaryzowanych reszt

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  stdres
## X-squared = 4.3166, df = 4, p-value = 0.3649

Test Durbina-Watsona dla wystandaryzowanych reszt

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      0.07035318      1.857989   0.128
##    2      0.01303452      1.970661   0.772
##    3      0.02050786      1.954549   0.716
##    4     -0.02886572      2.052923   0.440
##    5     -0.04835448      2.085019   0.270
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Sprójrzmy na wykresy ACF dla kwadratów standaryzowanych reszt

Test Durbina-Watsona dla kwadratów wystandaryzowanych reszt

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1     0.051530940      1.896415   0.220
##    2    -0.033596140      2.066186   0.440
##    3     0.006654930      1.985125   0.796
##    4    -0.009030752      2.015622   0.872
##    5     0.022584601      1.948935   0.530
##  Alternative hypothesis: rho[lag] != 0

Test na występowanie efektów ARCH wśród wystandaryzowanych reszt

## 
##  ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
## 
## data:  stdres
## Chi-squared = 2.3369, df = 5, p-value = 0.8008

Test Jarque-Bery dla wystandaryzowanych reszt

Statystyka Jarque-Bera ma wartość 76 co jest równoznaczne z p-value 0

Porównanie wyników estymacji modeli GARCH, EGARCH, GJRGARCH

GARCH(1,1) eGARCH(1,1) gjrGARCH(1,1)
Akaike -6.5855151 -6.5772824 -6.5855151
Bayes -6.5513282 -6.5430955 -6.5513282
Shibata -6.5856464 -6.5774137 -6.5856464
Hannan-Quinn -6.5720898 -6.5638572 -6.5720898

Patrząc na powyższe kryteria informacyjne najlepiej dopasowanym do danych modelem jest GARCH(1,1), jednak aby stwierdzić który model jest najbardziej odpowiedni do estymacji należałoby spawdzić skuteczność przewidywań modeli.

Okres dwóch lat

Dla danego okresu

Porównanie oszacowań warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie In-Sample

W rodziale 3, 4, i 5 pokazaliśmy że zwroty z portfolio mogą być opisane proces ARCH więc możemy zastosować modele typu GARCH do estymacji warunkowej wariancji.

W okresie dwu letnim oknie portfolio wypracowało dodatni skumulowany zwrot.

Warunkowa wariancja oszacowane na podstawie modelu GARCH(1,1) w dwuletnim okressie In-Sample.

Warunkowa Wariancja oszacowane na podstawie modelu EGARCH(1,1) w dwuletnim okressie In-Sample.

Warunkowa Wariancja oszacowane na podstawie modelu GJRGARCH(1,1) w dwuletnim okresie In-Sample.Podsumowując zauważamy że wszsytkie zaproponowane modele prawie idealnie opisują warunkową warincję portfela w okresie In-Sample.

Porównanie oszacowań warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH w okresie Out-Of-Sample

W dalszej cześci raportu dokonamy estymacji warunkowej wariancji w okresie Out-Of-Sample. Warunkowa wariancja będzie szacowana na jeden okres do przodu ze stałym oknem danych do estyamacji rozpoczynającym się pierwszego dnia próby.

Bezwarunkowa wariancja w modelu GARCH(1,1)

## Bezwarunkowa wariancja z modelu GARCH(1,1) 
##                              0.00008575829

Możemy zauważyć, że prognozy warunkowej wariancji zbiegają w długim okresie do poziomu wariancji bezwarunkowej.

Bezwarunkowa wariancja w modelu EGARCH(1,1)

## Bezwarunkowa wariancja z modelu EGARCH(1,1) 
##                                   -7.686946

Bezwarunkowa wariancja z modelu GJREGARCH(1,1)

## Bezwarunkowa wariancja z modelu GJREGARCH(1,1) 
##                                  0.00006990316

VAR In-Sample

Wykorzystując oszacowania warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH sprawadźmy i porównajmy jak zachowywała się wartość Value at Risk, w okresie In-Sample. Analizę VAR przeprowadzamy na poziomie 1%.

W modelu GARCH straty przekroczyły zakładany poziom VAR(W procentach):

## [1] NA

W modelu EGARCH straty przekroczyły zakładany poziom VAR(W procentach):

## [1] NA

W modelu GJRGARCH straty przekroczyły zakładany poziom VAR(W procentach):

## [1] NA

VAR Out-Of-Sample

Wykorzystując oszacowania warunkowej wariancji z modeli GARCH, EGARCH i GJRGARCH sprawadźmy i porównajmy jak zachowywała się wartość Value at Risk, w okresie Out-Of-Sample. Analizę VAR przeprowadzamy na poziomie 1%.

Podsumowanie

Podsumowując, pomimo ewidentnych przewag teoretycznych modeli EGARCH i GJRGARCH takich jak doskonalszy opis niesymetrycznej zmiany niepewnosci na rynkach na skutek zmiany poziomu cen aktywów wszystkie modele dają zbliżone wyniki.