Watanabe本
の定理 7.1 (4) (p.218) を証明してみる。
\(V(t)\) を体積関数
\[ V(t) = \int_{K(w) < t} \varphi(w) dw \]
とする。
任意の \(a > 0 \ \ (a \neq 1)\) に対して次が成り立つ。
\[ \lambda = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\log \left\{ V(at)/V(t) \right\} }{\log a} \]
状態密度関数 \(v(t)\) を次で定義する。
\[ v(t) = \int \delta(t - K(w)) \varphi(w) dw \]
これにより、
\[ \begin{align} V(t) &= \int_{K(w) < t} \varphi(w) dw \\ &= \int_0^t v(t) \ ds \\ \end{align} \]
と表すことができる。
定理 7.1 (3) より
\[ \lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{t^{\lambda - 1}(-\log t)^{m-1}} v(t) = c_2 \]
となる \(c_2 > 0\) が存在するので、
\[ v(t) = c_2 t^{\lambda - 1}(-\log t)^{m-1} + o\left(t^{\lambda - 1}(-\log t)^{m-1}\right) \]
定義より
\[ \begin{align} V(t) &= \int_0^t v(s) ds \\ &= \int_0^t \left\{ c_2 s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1} + o\left(s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}\right) \right\} ds \\ &= c_2 \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}ds + o\left(\int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}ds \right) \\ \end{align} \]
ここで、部分積分より
\[ \begin{align} \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}ds &= \left[ \frac{1}{\lambda}s^\lambda (-\log s)^{m-1} \right]_0^t + \frac{m-1}{\lambda} \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-2}ds \\ &= \frac{1}{\lambda}t^\lambda (-\log t)^{m-1} + \left[ \frac{m-1}{\lambda^2}s^\lambda (-\log s)^{m-2} \right]_0^t + \frac{(m-1)(m-2)}{\lambda^2} \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-3}ds \\ &\cdots \\ &= \sum_{k=1}^{m-3} \frac{(m-1)!/(m-k)!}{\lambda^{k}}t^\lambda (-\log t)^{m-k} + \left[ \frac{(m-1)!/2!}{\lambda^{m-2}}s^\lambda (-\log s)^{2} \right]_0^t + \frac{(m-1)!/1!}{\lambda^{m-2}} \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)ds \\ &= \sum_{k=1}^{m-2} \frac{(m-1)!/(m-k)!}{\lambda^{k}}t^\lambda (-\log t)^{m-k} + \left[ \frac{(m-1)!/1!}{\lambda^{m-1}}s^\lambda (-\log s) \right]_0^t + \frac{(m-1)!}{\lambda^{m-1}} \int_0^t s^{\lambda - 1}ds \\ &= \sum_{k=1}^{m-1} \frac{(m-1)!/(m-k)!}{\lambda^{k}}t^\lambda (-\log t)^{m-k} + \left[ \frac{(m-1)!}{\lambda^{m}}s^\lambda \right]_0^t \\ &= \sum_{k=1}^{m-1} \frac{(m-1)!/(m-k)!}{\lambda^{k}}t^\lambda (-\log t)^{m-k} + \frac{(m-1)!}{\lambda^{m}}t^\lambda - \frac{(m-1)!}{\lambda^{m}}0^\lambda \\ &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(m-1)!/(m-k)!}{\lambda^{k}}t^\lambda (-\log t)^{m-k} \\ &= \sum_{k=1}^{m} K_k t^\lambda (-\log t)^{m-k} \\ \end{align} \]
である。
ただし、ロピタルの定理より
\[ \begin{align} \lim_{s\rightarrow 0} \frac{(-\log s)^i}{s^{-\lambda}} &= \lim_{s\rightarrow 0} \frac{i(-\log s)^{i-1}(-\frac{1}{s})}{-\lambda s^{-\lambda-1}} \\ &= \lim_{s\rightarrow 0} \frac{i(-\log s)^{i-1}}{\lambda s^{-\lambda}} \\ & \cdots \\ &= \lim_{s\rightarrow 0} \frac{i!(-\log s)}{\lambda^{i} s^{-\lambda}} \\ &= \lim_{s\rightarrow 0} \frac{i!(-\frac{1}{s})}{-\lambda^{i+1} s^{-\lambda-1}} \\ &= \lim_{s\rightarrow 0} \frac{i!}{\lambda^{i+1} s^{-\lambda}} \\ &= \frac{i!}{\lambda^{i+1}} \lim_{s\rightarrow 0} s^{\lambda} \\ &= 0 \end{align} \]
を利用した。
したがって、
\[ \begin{align} V(t) &= c_2 \int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}ds + o\left(\int_0^t s^{\lambda - 1}(-\log s)^{m-1}ds \right) \\ &= c_2 \sum_{k=1}^{m} K_k t^\lambda (-\log t)^{m-k} + o\left( \sum_{k=1}^{m} K_k t^\lambda (-\log t)^{m-k} \right) \\ &= c_2 \sum_{k=1}^{m} K_k t^\lambda (-\log t)^{m-k} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right) \\ &= c_{2} K_1 t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right) \\ &= K t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right) \\ \end{align} \]
であるため、
\[ \begin{align} \lim_{t\rightarrow 0} \log \left\{V(at)/V(t)\right\} &= \lim_{t\rightarrow 0} \log \frac{K (at)^\lambda (-\log (at))^{m-1} + o\left( (at)^\lambda (-\log (at))^{m-1} \right)}{K t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)} \\ &= \lim_{t\rightarrow 0} \log \frac{ a^\lambda K t^\lambda (-\log a - \log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log a -\log t)^{m-1} \right)}{K t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)} \\ &= \lim_{t\rightarrow 0} \log \frac{ a^\lambda K t^\lambda (-\log a - \log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)}{K t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)} \\ &= \lim_{t\rightarrow 0} \log \frac{ a^\lambda K t^\lambda (- \log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)}{K t^\lambda (-\log t)^{m-1} + o\left( t^\lambda (-\log t)^{m-1} \right)} \\ &= \log a^\lambda \\ &= \lambda \log a \\ \end{align} \]
したがって
\[ \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\log \left\{ V(at)/V(t) \right\} }{\log a} = \lambda \]
が成り立つ(証明終)