Watanabe本
の定理 7.3 (p.221) を証明してみる。
パラメータが \(w = (u, v) \in W \ (u \in \mathbb{R}^{d_1}, v \in \mathbb{R}^{d_2})\) と表されるとき、\(K(u, v)\) と \(\varphi(u, v)\) が
を満たすならば、
\[ \lambda \leq \frac{d_1}{2} \]
が成り立つ。
一般性を失わずに \(u_0 = 0\) とできる。
定理7.2の証明と基本は同じ。
\(\epsilon > 0\) を十分小さい定数とする。
\[ \begin{align} Z(n) &= \int \int \exp(-n \ K(u, v))\ \varphi(u, v) \ du \ dv \\ &\geq \int \int_{|u| < \epsilon} \exp(-n \ K(u, v))\ \varphi(u, v) \ du \ dv \\ &= \int \int_{|u| < \epsilon} \exp\Big(-n \Big(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} u_i u_j + o(|u|^3)\Big)\Big)\ \varphi(u, v) \ du \ dv \\ \end{align} \]
ここで、
\[ K_{ij} = \frac{\partial^2 K(u, v)}{\partial w_i \partial w_j} \Bigg|_{u=0} \]
であり、\(i > d_1\) または \(j > d_1\) ならば \(K_{ij} = 0\) を利用した。
変数変換 \(u' = \sqrt{n} \ u\) を行うと
\[ \begin{align} Z(n) &\geq \int \int_{|u'| < \sqrt{n}\ \epsilon} \exp\Big(-n \Big(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} \frac{u'_i u'_j}{\sqrt{n}\sqrt{n}} + \frac{o(|u'|^3)}{\sqrt{n}^3}\Big)\Big)\ \varphi\Big(\frac{u'}{\sqrt{n}}, v\Big) \ \frac{1}{n^{d_1/2}} du' \ dv \\ &= \frac{1}{n^{d_1/2}}\int \int_{|u'| < \sqrt{n}\ \epsilon} \exp\Big(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} u'_i u'_j + \frac{o(|u'|^3)}{\sqrt{n}}\Big)\ \varphi\Big(\frac{u'}{\sqrt{n}}, v\Big) \ du' \ dv \\ Z(n) n^{d_1/2} &= \int \int_{|u'| < \sqrt{n}\ \epsilon} \exp\Big(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} u'_i u'_j + \frac{o(|u'|^3)}{\sqrt{n}}\Big)\ \varphi\Big(\frac{u'}{\sqrt{n}}, v\Big) \ du' \ dv \\ \end{align} \]
\(\sqrt{n} \ \varepsilon = 1\) となるように \(n \rightarrow \infty\)、\(\epsilon \rightarrow 0\) とすると、右辺は正定数
\[ \begin{align} Q &= \int \int_{|u'| < 1} \exp\Big(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} u'_i u'_j\Big)\ \varphi(0, v) \ du' \ dv \\ &= \int_{|u'| < 1} \exp\Big(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d_1} \sum_{j=1}^{d_1} K_{ij} u'_i u'_j\Big)\ \ du' \int \varphi(0, v) \ dv \\ \end{align} \]
に収束する。
ここで、定理 7.1 (p.218) より、
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^\lambda}{(\log n)^{m-1}} Z(n) = c_1 \]
となる定数 \(c_1 > 0\) が存在するため、
\[ c_1 \geq \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^\lambda}{(\log n)^{m-1}} \frac{Q}{n^{d_1/2}} \geq 0 \]
が成り立つ。
したがって、\(n\) の次数を比較して
\[ \lambda \leq \frac{d_1}{2} \]
である。（証明終）