Watanabe本
の定理 7.2 (p.220) を証明してみる。
\(W \subset \mathbb{R}^d\) をパラメータ空間とする。 開集合 \(U \subset W\) を
\[ \{ w \in U; K(w) = 0, \varphi(w) > 0\} \]
とするとき、\(U\) が空でないならば
\[ \lambda \leq \frac{d}{2} \]
が成り立つ。
\(w_0\) を \(K(w_0) = 0\) かつ \(\varphi(w_0) > 0\) を満たすパラメータとする。 一般性を失わずに \(w_0 = 0\) とすることができる。 十分小さい定数 \(\epsilon > 0\) に対して
\[ \begin{align} Z(n) &= \int \exp(-n K(w)) \varphi(w) dw \\ &\geq \int_{|w| < \epsilon} \exp(-n K(w)) \varphi(w) dw \end{align} \]
が成り立つ。
\(K(w)\) をマクローリン展開すると
\[ \begin{align} K(w) &= \frac{K(0)}{0!} + \sum_{i=1}^d \frac{w_i}{1!} \frac{\partial K(w)}{\partial w_i} \Bigg|_{w=0} + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1..d \ (i\neq j)} \frac{w_i w_j}{1!1!} \frac{\partial^2 K(w)}{\partial w_i \partial w_j} \Bigg|_{w=0} + \sum_{i=1}^d \frac{w_i^2}{2!}\frac{\partial^2 K(w)}{\partial^2 w_i}\Bigg|_{w=0} + O(|w|^3) \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w_i w_j + O(|w|^3) \end{align} \]
ここで、\(K(0) = 0\)、\(\frac{\partial K}{\partial w_i}(0) = 0\) を使い、\(K_{ij}\) を
\[ K_{ij} = \frac{\partial^2 K(w)}{\partial w_i \partial w_j} \Bigg|_{w=0} \]
とおいた。
これより、
\[ Z(n) \geq \int_{|w| < \epsilon} \exp \bigg\{ -\frac{n}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w_i w_j - n \ O(|w|^3) \bigg\}\varphi(w) dw \]
\(w' = \sqrt{n}\ w\) と変数変換すると、
\[ \begin{align} dw' &= |g'| dw \\ &= \left| \begin{array}{ccc} \sqrt{n} & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & \sqrt{n} \\ \end{array} \right| dw\\ &= \sqrt{n}^d dw\\ dw &= \frac{1}{\sqrt{n}^d} dw' \\ &= \frac{1}{n^{d/2}} dw' \end{align} \]
より
\[ \begin{align} Z(n) &\geq \int_{|w| < \epsilon} \exp \bigg\{ -\frac{n}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w_i w_j - n \ O(|w|^3) \bigg\}\varphi(w) dw \\ &= \int_{\frac{|w|}{\sqrt{n}} < \epsilon} \exp \bigg\{ -\frac{n}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} \frac{w'_i}{\sqrt{n}} \frac{w'_j}{\sqrt{n}} - n \frac{O(|w'|^3)}{\sqrt{n}^3} \bigg\}\varphi\big(\frac{w'}{\sqrt{n}}\big) \frac{1}{n^{d/2}}dw' \\ &= \frac{1}{n^{d/2}} \int_{|w'| < \sqrt{n}\ \epsilon} \exp \bigg\{ -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w'_i w'_j - \frac{O(|w'|^3)}{\sqrt{n}} \bigg\}\varphi\big(\frac{w'}{\sqrt{n}}\big) dw' \\ Z(n) \ n^{d/2}&\geq \int_{|w'| < \sqrt{n}\ \epsilon} \exp \bigg\{ -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w'_i w'_j - \frac{O(|w'|^3)}{\sqrt{n}} \bigg\}\varphi\big(\frac{w'}{\sqrt{n}}\big) dw' \\ \end{align} \]
\(\sqrt{n}\ \epsilon = 1\) となるように1 \(n \rightarrow \infty\)、\(\epsilon \rightarrow 0\) とすると、右辺は正定数
\[ Q = \int_{|w'| < 1} \exp \bigg\{ -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d K_{ij} w'_i w'_j \bigg\}\varphi(0) dw' \]
に収束する。
ここで、定理 7.1 (p.218) より2、
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^\lambda}{(\log n)^{m-1}} Z(n) = c_1 \]
となる定数 \(c_1 > 0\) が存在するため、
\[ c_1 \geq \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^\lambda}{(\log n)^{m-1}} \frac{Q}{n^{d/2}} \geq 0 \]
が成り立つ。
したがって、\(n\) の次数を比較して
\[ \lambda \leq \frac{d}{2} \]
である。（証明終）