Лабораторная №8

Вычислите выражения \((9+i)^{10}\) и \(\frac{9 + 2i}{9 + i}\)

\[ |z| = |9 + i| = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \] \[ \arg{z} =arctg \frac{1}{9} = 0.1106572 \] \[ z = \sqrt{82} * (cos(0.1106572) + i*sin(0.1106572)) \]

\[ z^{10} = (\sqrt{82})^{10} * (cos(0.1106572 * 10) + i*sin(0.1106572 * 10)) = 1659911102 + 3315041217i \]

\[\frac{9 + 2i}{9 + i} = \frac{(9+2i)(9-i)}{(9+i)(9-i)} = \frac{(9*9 + 2*1)}{9^2 + 1^2} + \frac{2*9-9*1}{9^2+1^2}i = \frac{83}{82} + \frac{9}{82}i \]

Наращение капитала по комплексной процентной ставке. \(PV = 1\), ставка \(r = 0.09*i\)

По простой процентной ставке

\[ FV = P(1 + rt) = 1 * (1 + 9ti) = 1 + \frac{9}{100}ti \]

package ‘ggplot2’ was built under R version 3.3.2

По сложной процентной ставке

\[ FV = P * (1 + r)^t = 1*(1 + \frac{9}{100}i)^t = (\sqrt{\frac{1082}{1000}}*(\cos(\arctan(\frac{9}{100})) + i*\sin(\arctan(\frac{9}{100}))))^t = (\frac{1082}{1000})^{\frac{t}{2}}*(\cos(t*\arctan(\frac{9}{100})) + i*sin(t*\arctan(\frac{9}{100}))) \]

По простой учетной ставке

\[ FV = \frac{P}{1-dt} = \frac{1}{1 - \frac{9t}{100}i} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1000+82t^2}{1000}}*e^{i*\arctan(-\frac{9t}{100})}} = \sqrt{\frac{1000}{1000 + 82*t^2}}*e^{i*\arctan(\frac{9t}{100})} \]

Графики комплексных функций

Нету технической возможности строить графики комплексных функций

Найдите сложную комплексную процентную ставку, при которой

• период наращения – 2 года,
• коэффициент наращения за этот период \(1 + 9*i\) %

Пусть процентная ставка имеем вид \[ r=a+bi \]

Определим рост \(FV\) капитала по сложной процентной ставке, как функцию от времени: \[ FV(t) = PV(1 + r)^t = \rho(\cos\alpha + i\sin\alpha)^t = p^t(\cos\alpha t + i\sin\alpha t) \] где \[ \rho = \sqrt{((1+a)^2 + b^2)} \] \[ \alpha = \arctan \frac{b}{1+a} \] Найдем точки экстремумов функции \(FV(t)\)

\[ \frac{dFV}{dt} = 0 \] \[ t_{k} = \frac{\arctan (\frac{\ln \rho}{\alpha}) + \pi k}{\alpha} \]

Получем, следующую формулу для периода наращения

\[ T_{наращения} = \frac{\arctan (\frac{\ln \rho}{\alpha}) + 2\pi}{\alpha} - \frac{\arctan (\frac{\ln \rho}{\alpha}) }{\alpha} = \frac{2\pi}{\arctan \frac{b}{1+a}} \] Коофиценнт наращения можно определить следующим образом \[ t_0 = \frac{\arctan (\frac{\ln \rho}{\alpha})}{\alpha}\\ k_{наращения} = \frac{FV(t_0 + T_{наращения})}{FV(t_0)} = \frac{p^{t_0+T}(\cos\alpha (t_0+T) + i\sin\alpha (t_0 + T)}{p^{t_0}(\cos\alpha t_0 + i\sin\alpha t_0)} = \frac{p^{T}(\cos\alpha (t_0+T) + i\sin\alpha (t_0 + T)}{(\cos\alpha t_0 + i\sin\alpha t_0)} = \frac{p^{\arctan \frac{b}{1+a}}(\cos\alpha (t_0+\arctan \frac{b}{1+a}) + i\sin\alpha (t_0 + \arctan \frac{b}{1+a})}{(\cos\alpha t_0 + i\sin\alpha t_0)} \]

Итак, что бы решить задачу надо решить систему уравнений

\[ \begin{cases} \LARGE{\frac{2\pi}{\arctan \frac{b}{1+a}} = 2 }\\ \\ \LARGE{\frac{p^{T}(\cos\alpha (t_0+T) + i\sin\alpha (t_0 + T)}{(\cos\alpha t_0 + i\sin\alpha t_0)} = 1 + 9i} \end{cases} \]

Графический метод нахождения комплексных корней полиномов

Задан многочлен n-порядка P(x) (n=4). Постройте на комплексной плоскости множество комплексных корней уравнения P(x)=a, где параметр а пробегает некоторый вещественный интервал с заданным шагом.

\[ x^4 + x^3 + x^3 + x^2 + x = a \]

a_seq = seq(-3,3,by=0.005)
getRoots <- function(a) polyroot(c(a,1,1,1,1))
roots <- unlist(Map(getRoots, a_seq))
gf_data <- data.frame(x=Re(roots), y=Im(roots))
ggplot(gf_data, aes(x,y)) + geom_point(size=1) + ggtitle('Комплексные корни уравнения 4 степени')