Problema 1

  1. Una compañía que manufactura y embotella jugo de manzana usa una maquina que automáticamente llena botellas de 16 onzas.Hay alguna variación, no obstante, en las cantidades de líquido que se ponen en las botellas que se llenan. Se ha observado que la cantidad de líquido está normalmente distribuido en forma aproximada con media de 16 onzas y desviación estándar de 1 onza.
  1. Determine la proporción de botellas que tendrán más de 17 onzas.
  2. Determine la proporción de botellas que tendrán de 14 a 16 onzas.
  3. Muestre una gráfica de dicha distribución.
a<-pnorm(17, mean = 16, sd = 1, lower.tail = F)

b1<-pnorm(c(16), mean = 16, sd = 1)
b2<-pnorm(c(14), mean = 16, sd = 1)

res<-b1-b2

cat("a) ", a, "\nb) ", res)
## a)  0.1586553 
## b)  0.4772499
mean=16; sd=1
lb=14; ub=16

x <- seq(-4,4,length=100)*sd + mean
hx <- dnorm(x,mean,sd)

plot(x, hx, type="n", xlab="Cantidad de Líquido", ylab="Densidad", main="Distribución Normal")

i <- x >= lb & x <= ub
lines(x, hx)
polygon(c(lb,x[i],ub), c(0,hx[i],0), col="red")

Problema 2

Para verificar la exactitud de sus estados financieros, las empresas a menudo emplean auditores que verifiquen sus ingresos. Los empleados de la empresa se equivocan al registrar los ingresos el 5% de las veces. Suponga que un auditor revisa aleatoriamente tres ingresos:

  1. Encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de errores detectados por el auditor.
  2. Construya un histograma de probabilidades para p(x).
  3. Encuentre la probabilidad de que un auditor detecte más de un error.
x<-seq(0, 3, 1)
binom1<-dbinom(x, 3, 0.05)

cat("a) Tabla de distribución de probabilidad", "\n\n")
## a) Tabla de distribución de probabilidad
tabla<-matrix(c(0.857375, 0.135375, 0.007125, 0.000125),ncol=4)
colnames(tabla) <- c("0   ","1   ","2   ", "3   ")
tabla<- as.table(tabla)
tabla
##       0        1        2        3   
## A 0.857375 0.135375 0.007125 0.000125
barplot(binom1, lwd=1, xlab="Variable Aleatoria", ylab="Densidad", main = "Distribucion Binomial")

Px2<-dbinom(2,3,0.05)
Px3<-dbinom(3,3,0.05)
cat("c) ", Px2+Px3)
## c)  0.00725

Problema 3

El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson con un promedio de 1.5 nudos en 10 pies cúbicos de madera.

  1. Encuentre la probabilidad de que un bloque de 10 pies cúbicos de madera tenga al menos un 1 nudo.
  2. Dibuje la PDF para esta distribución.
  3. Dibuje la CDF para esta distribución.
x<-seq(0,1,1)
res<-dpois(x, 1.5, log = F)
res1<-sum(res)

cat("a)", res1, "\n")
## a) 0.5578254
r<-sort(rpois(100, 1.5))
pdf1<-dpois(r, 1.5, log = F)
plot(r,pdf1, type="b", xlab="Nudos", ylab="Probabilidad", main="PDF", col="blue")

u<-sort(rpois(100, 1.5))
cdf1<-ppois(u, 1.5, lower.tail = T, log.p = F)
plot(u,cdf1, type="b", xlab="Nudos", ylab="Probabilidad", main="CDF", col="blue" )

Problema 4

Se descubrió que a determinada concentración una sustancia química, encontrada en aguas contaminadas, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esa concentración del químico.

  1. Encuentre la probabilidad de que sobrevivan 14 peces.
  2. Calcule la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan.
  3. Encuentre qué probabilidad existe de que sobrevivan cuando mucho 16 peces.
  4. Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes.
  5. Realice una gráfica de la PDF
  6. Realice una gráfica de la CDF.