Lab #10

Ejercicio 1

Una compañía que manufactura y embotella jugo de manzana usa una maquina que automáticamente llena botellas de 16 onzas. Hay alguna variación, no obstante, en las cantidades de líquido que se ponen en las botellas que se llenan. Se ha observado que la cantidad de líquido está normalmente distribuido en forma aproximada con media de 16 onzas y desviación estándar de 1 onza. a. Determine la proporción de botellas que tendrán más de 17 onzas.

pnorm(17, mean=16, sd=1,lower.tail = F)

## [1] 0.1586553

2. Determine la proporción de botellas que tendrán de 14 a 16 onzas.

pnorm(c(17), mean=16, sd=1)-pnorm(c(14), mean=16, sd=1)

## [1] 0.8185946

3. Muestre una gráfica de dicha distribución.

x<-seq(13, 19, 0.01)
norm_pdf<-dnorm(x , mean=16, sd=1, log=F)
plot(x,norm_pdf, lwd=3,type = "s",
     ylab="Densidad",
     xlab="Variable Aleatoria",
     main="Distribucion Normal",
     col="violet")

Ejercicio 2

Para verificar la exactitud de sus estados financieros, las empresas a menudo emplean auditores que verifiquen sus ingresos. Los empleados de la empresa se equivocan al registrar los ingresos el 5% de las veces. Suponga que un auditor revisa aleatoriamente tres ingresos:

1. Encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de errores detectados por el auditor.

x<-seq(0, 3 ,1)
binom_pdf<-dbinom(x, 3, 0.05)
x

## [1] 0 1 2 3

binom_pdf

## [1] 0.857375 0.135375 0.007125 0.000125

2. Construya un histograma de probabilidades para p(x).

barplot(binom_pdf, lwd=2,
        xlab="Variable Aleatoria",
        ylab="Densisdad",
        main="Distribucion Binomial Histograma")

3. Encuentre la probabilidad de que un auditor detecte más de un error.

1-pbinom(1, 3, 0.05)

## [1] 0.00725

Ejercicio 3

El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson con un promedio de 1.5 nudos en 10 pies cúbicos de madera.

1. Encuentre la probabilidad de que un bloque de 10 pies cúbicos de madera tenga al menos un 1 nudo.

1-ppois(c(0),1.5)

## [1] 0.7768698

2. Dibuje la PDF para esta distribución.

x<-sort(rpois(1000, 1.5))
pdf<-dpois(x, lambda = 1.5)
plot(x,pdf, xlab = 'x', ylab = 'p(x)', col="mediumturquoise", main="Distribucion de Poisson PDF")

3. Dibuje la CDF para esta distribución.

x<-sort(rpois(1000, 1.5))
cdf<-ppois(x, lambda = 1.5)
plot(x, cdf, xlab = 'Variable Aleatoria', ylab = 'Densidad',main="Distribucion Poisson CDF", col="paleturquoise")

Ejercicio 4

Se descubrió que a determinada concentración una sustancia química, encontrada en aguas contaminadas, resultó mortal para 20% de los peces que se exponían a ella por más de 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque de agua que contiene esa concentración del químico.

1. Encuentre la probabilidad de que sobrevivan 14 peces

pbinom(c(14), 20, 0.8)-pbinom(c(13),20, 0.8)

## [1] 0.1090997

2. Calcula la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan

1-pbinom(c(9), 20, 0.8)

## [1] 0.9994366

3. Encuentre qué probabilidad existe de que sobreviva cuando mucho 16 peces.

pbinom(c(16), 20, 0.8)

## [1] 0.5885511

4. Obtenga la media y la varianza de la cantidad de sobrevivientes. μ = np = 20 * 0.8 = 16 var = npq = (20)(0.8)(0.2) = 3.2

5. Realice una gráfica de la PDF

x<-sort(rbinom(1000,20,0.8))
pdf=dbinom(x,20,0.8)
plot(x, pdf, col="mediumpurple", main="Distribucion Binomial PDF")

6. Realice una gráfica de la CDF.

x<-sort(rbinom(100,20,0.8))
cdf=pbinom(x,20,0.8)
plot(x, cdf, col="mediumorchid", main="Distribucion Binomial CDF")

Ejercicio 5

Un explorador de petróleo hará una serie de perforaciones en determinada área para localizar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un ensayo es de 0.2.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera perforación sea la primera en dar un pozo productivo?

dgeom(2, 0.2)

## [1] 0.128

2. Si la empresa puede darse el lujo de perforar a lo sumo diez pozos, ¿Cuál es la probabilidad de que no encuentre un pozo productivo?

1-dgeom(9, 0.2)

## [1] 0.9731565

3. ¿Cuántas perforaciones esperaría hacer la empresa? E(x) = 1/p = 5

4. Realice una gráfica de la PDF.

x<-sort(rgeom(100,0.2))
pdf=dgeom(x, 0.2)
plot(x, pdf, col= "gold", main="Distribucion Geometrica PDF")

5. Realice una gráfica de la CDF.

x<-sort(rgeom(100,0.2))
cdf=pgeom(x, 0.2)
plot(x, cdf, col="green", main="Distribucion Geometrica CDF")

Ejercicio 6

Suponga que Y tiene una función de densidad f(y)={ky(1−y), 0≤y≤1; 0, e.o.p

1. Encuentre el valor de k que convierte a f(y) en una función de densidad de probabilidad.

pdf<-function(y) {
  y*(1-y)}
1/(integrate(pdf, 0, 1)$value)

## [1] 6

2. Encuentre 𝑃(0.4 ≤ 𝑌 ≤ 1)

pdf<-function(y) {
  6*y*(1-y)}
(integrate(pdf, 0.4, 1)$value)

## [1] 0.648

3. Encuentre 𝑃(0.4 ≤ 𝑌 < 1)

pdf<-function(y) {
  6*y*(1-y)}
(integrate(pdf, 0.4, 1)$value)

## [1] 0.648

d.Encuentre p(Y≤0.4|Y≤0.8)

pdf<-function(y) {
  6*y*(1-y)}
(integrate(pdf, 0, 0.4)$value) / (integrate(pdf, 0, 0.8)$value)

## [1] 0.3928571

5. Encuentre 𝑃(𝑌 < 0.4 |𝑌 < 0.8)

pdf<-function(y) {
  6*y*(1-y)}
(integrate(pdf, 0, 0.4)$value) / (integrate(pdf, 0, 0.8)$value)

## [1] 0.3928571

Ejercicio 7

Se observó que la cantidad semanal de dinero gastado por una compañía durante largo tiempo en mantenimiento y reparaciones, está normalmente distribuida en forma apropiada con media de Q400 y desviación estándar de Q20. Si están presupuestados Q450 para la próxima semana. ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales rebasen la cantidad presupuestada? Además muestre una gráfica de la PDF y de la CDF para esta distribución.

pnorm(450, mean=400, sd=20,lower.tail = F)

## [1] 0.006209665

Ejercicio 8

La magnitud de temblores registrados en una región de América del Norte puede modelarse como si tuviera una distribución exponencial con media 2.4, según se mide en la escala de Richter.

1. Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región sea mayor que 3.0 en la escalada de Richter.

pexp(3.0, rate=1/2.4, lower.tail = F)

## [1] 0.2865048

2. Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región este en el rango de 2.0 y 3.0 en la escalada de Richter

pexp(2.0, rate=1/2.4, lower.tail = F)-pexp(3.0, rate=1/2.4, lower.tail = F)

## [1] 0.1480934

3. Muestre una grafica de la PDF.

x<-sort(rexp(100, 2.4))
pdf<-dexp(x, 2.4)
plot(x, pdf, xlab = 'x', ylab = 'p(x)', col= "palevioletred", main="Distribucion Exponencial PDF")

d.Muestre una grafica de la CDF

x<-sort(rexp(100, 2.4))
cdf<-pexp(x, 2.4)
plot(x, cdf, xlab = 'x', ylab = 'p(x)', col="hotpink", main="Distribucion Exponencial CDF")