Ekvationssystem och Matrisräkning

Linjära ekvationer

Matrisalgebra

Inverser och Determinanter

I den här avdelningen ska jag visa hur man löser linjära ekvationssystem i R.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9 — del 10

Linjära ekvationer såsom

\[ 2*x = 20 \]

kan vi enkelt lösa i R. Ekvationen ovan är ju väldigt lätt att lösa, men såklart kan man lösa mer komplicerade ekvationer.

tillbaka

I R kan vi direkt lösa denna ekvation som nedan

a <- 2
b <- 20
solve(a,b)

[1] 10

Då har vi alltså löst ekvationen

\[ 2*x = 20 \]

tillbaka

Vill ni utveckla detta till två ekvationer med två obekanta såsom nedan

\[ x + y = 1 \] \[ -x + y = -2 \]

så kan vi även skriva kod för detta i R.

tillbaka

Vi kan försöka lösa ännu ett ekvationssystem

\[ 3x + 6y = 3 \] \[ 2x + 4y = 0 \]

a <- rbind(c(3,6),
           c(2,4))
b <- c(3,0)
solve(a,b)

tillbaka

Det kommer inte att gå lika bra då man får följande felmeddelande

Error in solve.default(a, b) : 
  Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[2,2] = 0

Singuläriteten som uppstår beror på att det inte finns någon lösning till ekvationssystemet. Kurvorna kommer aldrig att skära varandra, vilket innebär att de är parallella.

tillbaka

Följande kod återskapar en 3D graf över lösningen, kör denna, förstora och flytta runt för att se lösningen bättre! Högre dimensioner går inte att göra grafer av såhär

install.packages("rgl")
library(rgl)
# Skapa lite "dummy" data
dat <- replicate(2, 1:3)

# En tom 3D graf
plot3d(dat, type = 'n', xlim = c(-1, 1), ylim = c(-1, 1), zlim = c(-3, 3), xlab = '', ylab = '', zlab = '') 

# Skapa grafer över de plan som vi vill visa
planes3d(1, 1, 1, 0, col = 'red', alpha = 0.6)
planes3d(1, -1, 1, 0, col = 'orange', alpha = 0.6)
planes3d(1, -1, -1, -0.8, col = 'blue', alpha = 0.6)

tillbaka

I följande slides kommer vi att titta på beräkningar med matriser i R.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9 — del 10 — del 11

En styrka med R är att programmeringsspråk är väl anpassat till att manipulera matriser.

Ta tillexempel

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{pmatrix} \]

där vi har \( a \) och \( c \) i första kolumnen samt \( b \) och \( d \) i andra kolumnen. Sedan har vi \( a \) och \( b \) på första raden samt \( c \) och \( d \) på andra raden. Detta är en \( 2x2 \) matris.

tillbaka

Vilket sätt ni än använder är mer en smaksak. Självklart kan vi ange denna matris med siffror, vilket såklart blir mer användbart vid uträkningar

matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4

Men bokstäver kan vara rätt användbart för att visa hur vissa funktioner sker.

tillbaka

Låt oss ta transposen av matrisen med bokstäver

abc_matris <- matrix(c("a","b",
         "c","d"),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
t(abc_matris)

     [,1] [,2]
[1,] "a"  "c" 
[2,] "b"  "d" 

Funktionen transpose byter alltså plats på rader och kolumner!

tillbaka

Vi kan också utföra uträkningar mellan matriser, ta exemplet nedan

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} a*e + b*g & a*f + b*h \\ c*e + d*g & c*f + d*h \end{matrix} \end{pmatrix} \]

Vilket återger matrismultiplikationen mellan två matriser av samma storlek.

tillbaka

Matrismultiplikationen i R måste dock visas med siffror, så vi gör detta

matris1 <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
matris2 <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
matris1 %*% matris2

     [,1] [,2]
[1,]    7   10
[2,]   15   22

tillbaka

Notera att multiplikationen mellan matriser i förgående exempel gick pågrund av att matriserna var av rätt storlek. Generellt sett så skall den första matrisens kolumner vara lika stor som den andra matrisens rader, och utfallet kommer att bli en matris med lika många rader som i den första matrisen samt lika många kolumner som i den andra matrisen.

\[ (4x \color{red}{2})(\color{red}{3}x2) \] ej möjligt

\[ (4x \color{green}{2})(\color{green}{2}x3) \] ger en \( (4x3) \) matris

tillbaka

Nedan visar jag hur en uträkning för sådana matriser kan se ut

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \begin{matrix} g & h & i \\ j & k & l \end{matrix} \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} \begin{matrix} a*g + b*j & a*h + b*k & a*i + b*l \\ c*g + d*j & c*h + d*k & c*i + d*l \\ e*g + f*j & e*h + f*k & e*i + f*l \end{matrix} \end{pmatrix} \]

tillbaka

Och vi räknar i R

matris1 <- matrix(c(1,2,
         3,4,5,6),
       byrow=TRUE, nrow=3,ncol=2)
matris2 <- matrix(c(1,2,
         3,4,5,6),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=3)
matris1 %*% matris2

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    9   12   15
[2,]   19   26   33
[3,]   29   40   51

tillbaka

Vi kan även addera och subtrahera matriser, nedan visar jag ett exempel på addition

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{matrix} \end{pmatrix} \]

Matriserna adderas alltså positionsvis.

tillbaka

I R är detta såklart väldigt enkelt att skriva

matris1 <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
matris2 <- matrix(c(5,6,
         7,8),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
matris1 + matris2

     [,1] [,2]
[1,]    6    8
[2,]   10   12

Men nu måste däremot matriserna vara lika stora.

tillbaka

I följande slides kommer jag visa beräkningar av inverser och determinanter

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9

Vi kan självklart lösa ekvationssystemet med den funktion vi redan har lärt oss. Men vi kan även även använda matriserna. Inversen av en \( 2x2 \) matris ges av

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \end{pmatrix} \]

Detta resultat kan vi använda för att lösa ekvationen.

tillbaka

Hur då? Jo genom att ta inversen kan vi flytta över matrisen till andra sidan och ha kvar \( x \) och \( y \) som vi söker. Lösningarna till dessa får vi då ut som ekvationer

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{pmatrix} \]

tillbaka

Inversen som vi vill lösa blir således

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{1*4 - 2*3} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \end{pmatrix} \]

\[ = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \end{pmatrix} \]

tillbaka

Självklart kan man lösa inversen snabbt i R.

matris <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
solve(matris)

     [,1] [,2]
[1,] -2.0  1.0
[2,]  1.5 -0.5

tillbaka

Det finns finurliga funktioner i R. Med hjälp av \( \texttt{MASS} \) paketet kan vi skapa kvottal istället för decimaler så vi kan jämföra uträkningarna lättare

install.packages("MASS")

library(MASS)
matris <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
fractions(solve(matris))

     [,1] [,2]
[1,]   -2    1
[2,]  3/2 -1/2

tillbaka

Med vår invers så kan vi nu skriva ut svaret på ekvationsystemet

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} \begin{matrix} -2 * 1 + 1 * 2 \\ \frac{3}{2} * 1 + (-\frac{1}{2} * 2) \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} -2 + 2 \\ \frac{3}{2} + (-1) \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \end{pmatrix} \]

tillbaka

I R ser detta ut som nedan

library(MASS)
matris <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
fractions(solve(matris)%*%c(1,2))

     [,1]
[1,]   0 
[2,] 1/2 

tillbaka

I R återges detta helt enkelt av

matris <- matrix(c(1,2,
         3,4),
       byrow=TRUE, nrow=2,ncol=2)
det(matris)

[1] -2

Vilket ni själva kan verifiera. Notera att determinanten är vad vi kallar en skalär, helt enkelt ett tal och inte en matris med flera element!

tillbaka