Лабораторная №7

Определение порядков малости

Определить порядок малости и константу С погрешности правой формулы численного дифференцирования

library(stats)
library(ggplot2)
V = 4
#h = 0.0000001
x0 = 2;
log10 <- function(x) log(x,10)
f <- function(x) sin(V * x) + (x*x + V*x)^(1/2)
df <- function(x) V * cos(V*x) + (1/2) * (2*x + V) * ((x*x + V*x) ^ (-1/2))
f1 <- function(x) sin(V*x)
df1 <- function(x) V*cos(V*x)
phi <- function(h) abs(df(x0) - (f(x0 + h) - f(x0))/h)
x <- seq(0.0001,0.005, by = 0.0001)
right_graph <- data.frame(x = x, y = phi(x))

slope = (log10(tail(right_graph)[1,]$y) - log10(right_graph[1,]$y))/(log10(tail(right_graph)[1,]$x) - log10(right_graph[1,]$x))
slope

[1] 0.9997652

shiftY = log10(tail(right_graph)[1,]$y) - slope * log10(tail(right_graph)[1,]$x)
shiftY

[1] 0.900128

Порядок малости \(\alpha \approx 1\). Константа С равна \(10^{0.9}=7.94\)

Определить порядок малости и константу С центральной формулы численного дифференцирования

phi_central <- function(h) abs(df(x0) - (f(x0 + h) - f(x0-h))/(2*h))
central_graph <- data.frame(x = x, y = phi_central(x))

ggplot(data=central_graph, aes(x=x,y=y)) + geom_line() + coord_trans(x ='log10', y ='log10') + ggtitle('lg-lg график погрешности центральной формулы дифференцирования')

slope2 = (log10(tail(central_graph)[1,]$y) - log10(central_graph[1,]$y))/(log10(tail(central_graph)[1,]$x) - log10(central_graph[1,]$x))
slope2

[1] 1.999981

shiftY2 = log10(tail(central_graph)[1,]$y) - slope2 * log10(tail(central_graph)[1,]$x)
shiftY2

[1] 0.1953047

Порядок малости \(\alpha \approx 2\). Константа С равна \(10^{0.19}=1.548\)

Определить порядок малости и константу С погрешности формулы численного интегрирования методом центральных прямоугольников и методом трапеций

Метод центральных прямоугольников

Для простоты возьмем функцию \(e^x\)

rectangleIntergation <- function(h) {
  x <- seq(V, 2*V, length.out = h)
  ds <- data.frame(x1=x[seq(1, h -1 )], x2=x[seq(2, h )])
  a = apply(ds, 1, function(d) exp((d[1] + d[2])/2)*(d[2]-d[1]))
  sum(a)
}
# функция погрешности интегрирования методом центральных прямоугольников
phi3 <- function(h) abs(2926.36 - rectangleIntergation(h))
g3 <- data.frame(x = seq(100, 1101, by=1), y = apply(data.frame(seq(100, 1101, by=1)), 1, phi3))

[1] -0.2906941
[1] -1.863475

Порядок малости \(\alpha \approx 0.3\). Константа С равна \(10^{-1.8}=0.16\)

\[\alpha \approx 0.3\] \[C \approx 10^{-1.8}=0.16\]

Метод трапеций

trapezoidIntergation <- function(h) {
  x <- seq(V, 2*V, length.out = h)
  ds <- data.frame(x1=x[seq(1, h -1 )], x2=x[seq(2, h )])
  a = apply(ds, 1, function(d) (d[2]-d[1]) * (exp(d[1]) + exp(d[2])) / 2)
  sum(a)
}
# функция погрешности интегрирования методом трапеций 
phi4 <- function(h) abs(2926.36 - trapezoidIntergation(h))
g4 <- data.frame(x = seq(100, 1101, by=1), y = apply(data.frame(seq(100, 1101, by=1)), 1, phi4))

[1] -0.2996792
[1] -1.59891

\[\alpha \approx 0.3\] \[C \approx 10^{-1.6}=0.025\]