Ejercicios de modelos ARIMA
Artiel Palomar Coll
12/05/2017
- Apartado 1
- Modelos del Indice de producción industrial.
- Modelos de tipo de interés a largo plazo.
- Modelos de tipo de interés a medio plazo.
- Modelos de tipo de interés a corto plazo.
- Apartado 2
- Modelos del diferencial de tipo de interés a largo plazo
- Modelos del diferencial de tipo de interés a medio plazo
Elige un paÃs (que no sea USA), y descarga de FRED las siguientes series:
Indice de producción industrial Tipo de interés a largo plazo Tipo de interés a medio plazo Tipo de interés a corto plazo
Apartado 1
Para cada una de las series anteriores construye varios modelo ARIMA (al menos 2). Usa las 3 estrategias de modelización.
Para crear nuestros modelos hemos obtenido las series temporales de México.
Modelos del Indice de producción industrial.
Como vemos en los gráficos anteriores nuestra serie presenta una clara tendencia creciente por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez.
Modelizador automático
Empezaremos utilizado el modelizador automático para hacernos una mejor idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(0,0,4) with non-zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 ma4 mean
0.3924 0.2704 0.0598 -0.3755 0.0044
s.e. 0.0943 0.1073 0.1037 0.0979 0.0014
sigma^2 estimated as 0.0001277: log likelihood=354.37
AIC=-696.74 AICc=-695.97 BIC=-680.27El modelizador automático nos indica un modelo MA(4).
Vemos que todos los retardos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, salvo alguno retardo muy al final que no tiene importancia.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 36.269, df = 2, p-value = 1.331e-08
Skewness
data: resid
statistic = 0.49059, p-value = 0.03173
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.5703, p-value = 1.84e-08No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Modelo ARMA
Crearemos ahora un modelo ARMA yendo de lo especÃfico (ARMA(1,1)) a lo general.
ARMA(1,1)
Series: X
ARIMA(1,0,1) with zero mean
Coefficients:
ar1 ma1
0.4535 0.0129
s.e. 0.1506 0.1604
sigma^2 estimated as 0.000154: log likelihood=342.47
AIC=-678.94 AICc=-678.72 BIC=-670.7
En la ACF todos menos el retardo 4 y 17 se encuentran dentro de las bandas de confianza y en la PACF los retardos 4, 11 y 20, por lo que queda alguna estructura residual.
Algunos p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para algunos retardos, esto nos indica que existe autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 148.75, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.33629, p-value = 0.141
Kurtosis
data: resid
statistic = 8.5309, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos gracias a la kurtosis, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Este modelo no cumple la diagnosis y por tanto no nos sirve, probaremos ahora con ARMA(2,1)
ARMA(2,1)
Series: X
ARIMA(2,0,1) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ma1
0.9979 -0.2926 -0.5097
s.e. 0.4053 0.1932 0.4047
sigma^2 estimated as 0.0001547: log likelihood=342.72
AIC=-677.45 AICc=-677.08 BIC=-666.47En este modelo el BIC aumenta de -670.7 a -666.47 por lo que es un peor modelo para predecir.
Al igual que en el ARMA(1,1) en la ACF todos menos el retardo 4 y 17 se encuentran dentro de las bandas de confianza, en la PACF los retardos 4, 11 y 20, por lo que queda alguna estructura residual (hay autocorrelaciones).
Ocurre lo mismo que en el ARMA(1,1).
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 135.06, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.38959, p-value = 0.08808
Kurtosis
data: resid
statistic = 8.2517, p-value < 2.2e-16Lo mismo que en el ARMA(1,1) no cumple con la normalidad.
Tampoco nos sirve este modelo, asà que probaremos ahora un ARMA(1,2)
ARMA(1,2)
Series: X
ARIMA(1,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ma1 ma2
0.2125 0.2179 0.3189
s.e. 0.1678 0.1435 0.1569
sigma^2 estimated as 0.0001514: log likelihood=343.88
AIC=-679.76 AICc=-679.4 BIC=-668.78El BIC sigue siendo peor que en el ARMA(1,1).
Vemos que hay un par de retardos que se salen de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF. Hay menos retados fuera de las bandas de confianza que en el modelo ARMA(1,1) por lo que podrÃa decirse que mejora un poco este modelo.
Ocurre lo mismo con los p-valores del estadÃstico Ljung-Box que en el modelo ARMA(1,1).
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 67.562, df = 2, p-value = 2.109e-15
Skewness
data: resid
statistic = 0.26245, p-value = 0.2505
Kurtosis
data: resid
statistic = 6.7181, p-value = 3.989e-16No se cumple la normalidad de los residuos, sin embargo, el p-valor ha aumentado considerablemente sobretodo para la simetrÃa.
Probaremos ahora un ARMA(1,3)
ARMA(1,3)
Series: X
ARIMA(1,0,3) with zero mean
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 ma3
-0.4688 1.0181 0.7341 0.4931
s.e. 0.1724 0.1429 0.1233 0.1040
sigma^2 estimated as 0.0001394: log likelihood=348.86
AIC=-687.73 AICc=-687.18 BIC=-674En este caso el BIC es de -674 que es mucho mejor que en el ARMA(1,1) con -670.
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, salvo alguno muy al final en la PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 24.982, df = 2, p-value = 3.761e-06
Skewness
data: resid
statistic = 0.30505, p-value = 0.1817
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.2003, p-value = 1.461e-06No se cumple la normalidad de los residuos, pero de nuevo los valores del estadÃstico ha mejorado considerablemente. Teniendo en cuenta que es posible que no consigamos normalidad en los residuos este es un modelo válido para nuestra serie. Probaremos un modelo ARMA(2,2).
ARMA(2,2)
Series: X
ARIMA(2,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.3366 -0.5186 0.0465 0.8232
s.e. 0.1353 0.1088 0.0820 0.1029
sigma^2 estimated as 0.0001402: log likelihood=348.34
AIC=-686.69 AICc=-686.14 BIC=-672.96En este caso el BIC es mejor que el ARMA(1,1) pero peor que el ARMA(1,3)
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, salvo uno muy al final en la PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 24.251, df = 2, p-value = 5.419e-06
Skewness
data: resid
statistic = 0.12472, p-value = 0.5851
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.2358, p-value = 9.872e-07No se cumple la normalidad de los residuos, sin embargo el p-valor de la simetrÃa es bastante alto.
Este modelo también serÃa válido, aunque es un poco peor para predecir que el modelo ARMA(1,3).
Por último crearemos un modelo ARMA(2,3)
ARMA(2,3)
Series: X
ARIMA(2,0,3) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2 ma3
-0.1433 -0.5492 0.6468 1.0728 0.5016
s.e. 0.1377 0.0906 0.1662 0.0600 0.1587
sigma^2 estimated as 0.0001279: log likelihood=351.91
AIC=-691.83 AICc=-691.05 BIC=-675.36En este caso el BIC es mejor que cualquier modelo ARMA anterior.
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 38.31, df = 2, p-value = 4.798e-09
Skewness
data: resid
statistic = 0.28662, p-value = 0.2095
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.7688, p-value = 1.353e-09No se cumple la normalidad de los residuos y empeora un poco respecto a modelos anteriores.
Este modelo también es válido pero en este caso estamos sobreparametrizando un poco el modelo, lo cual no es muy deseable.
Podriamos elegir entre un ARMA(2,3) y un ARMA(1,3), el modelo ARMA(2,2) que también es válido tiene un BIC inferior a los dos anteriores. El ajuste del ARMA(1,3) queda asÃ:
Modelo MA
Por último, aprovechando que el modelizador automático nos indico que un ARMA(0,4) puede ser el mejor modelo crearemos un modelo MA yendo de lo general a lo especÃfico.
MA(10)
Series: X
ARIMA(0,0,10) with zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8 ma9 ma10
0.4929 0.4373 0.1737 -0.3283 -0.0025 0.1279 0.0686 0.0006 0.0789 0.1678
s.e. 0.0916 0.1176 0.1110 0.1166 0.1160 0.1179 0.1189 0.1169 0.1148 0.0958
sigma^2 estimated as 0.00013: log likelihood=353.47
AIC=-684.94 AICc=-682.37 BIC=-654.74
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1, aunque hay un par que se encuentran en el lÃmite.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 39.256, df = 2, p-value = 2.991e-09
Skewness
data: resid
statistic = 0.46398, p-value = 0.04222
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.7076, p-value = 3.085e-09No se cumple la normalidad de los residuos.
Vemos que este modelo cumple la diagnosis (exceptuando la normalidad) y por tanto comenzaremos a reducir el orden del modelo MA hasta encontrar alguno que no cumpla con la diagnosis.
MA(7)
Series: X
ARIMA(0,0,7) with zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7
0.4973 0.3819 0.1127 -0.3267 0.0158 0.1485 0.1388
s.e. 0.0922 0.1050 0.1099 0.1088 0.1026 0.1199 0.1019
sigma^2 estimated as 0.0001344: log likelihood=352.07
AIC=-688.14 AICc=-686.78 BIC=-666.18El BIC ha mejorado respecto al modelo anterior.
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 26.049, df = 2, p-value = 2.206e-06
Skewness
data: resid
statistic = 0.24944, p-value = 0.2748
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.2776, p-value = 6.177e-07No se cumple la normalidad de los residuos gracias a la kurtosis, la normalidad ha mejorado bastante respecto al modelo anterior.
Este modelo también es válido asà que podemos continuar bajando el orden.
MA(5)
Series: X
ARIMA(0,0,5) with zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 ma4 ma5
0.5070 0.3983 0.1609 -0.3251 -0.056
s.e. 0.0945 0.1022 0.0946 0.1050 0.097
sigma^2 estimated as 0.0001354: log likelihood=350.92
AIC=-689.83 AICc=-689.06 BIC=-673.36De nuevo el BIC aumenta considerablemente.
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, salvo un par al final de la PACF
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 20.557, df = 2, p-value = 3.437e-05
Skewness
data: resid
statistic = 0.34026, p-value = 0.1363
Kurtosis
data: resid
statistic = 4.9563, p-value = 1.85e-05No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis pero mejora respecto al modelo anterior.
Este modelo también es válido asà que continuamos con un MA(4) (el recomendado por el modelizador automático).
MA(4)
Series: X
ARIMA(0,0,4) with zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 ma4
0.4861 0.3866 0.1698 -0.2917
s.e. 0.0899 0.1034 0.0979 0.0900
sigma^2 estimated as 0.0001347: log likelihood=350.75
AIC=-691.5 AICc=-690.95 BIC=-677.78De nuevo mejora el BIC respecto al MA(5).
Vemos que todos los residuos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, salvo en los dos últimos retardos.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 25.01, df = 2, p-value = 3.708e-06
Skewness
data: resid
statistic = 0.36238, p-value = 0.1126
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.1666, p-value = 2.109e-06No se cumple la normalidad de los residuos y empeora un poco respecto al modelo anterior.
Este modelo es válido asà que probamos ahora con MA(3).
MA(3)
Series: X
ARIMA(0,0,3) with zero mean
Coefficients:
ma1 ma2 ma3
0.5876 0.5021 0.2882
s.e. 0.1209 0.1594 0.1234
sigma^2 estimated as 0.000146: log likelihood=345.84
AIC=-683.68 AICc=-683.32 BIC=-672.71En este caso el BIC empeora respecto al anterior modelo.
En este modelo ya vemos algunos retardos distintos que se salen de las bandas de confianza, por ejemplo el 4.
En este caso se rechaza la H0 para el retardo 5, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 31.779, df = 2, p-value = 1.257e-07
Skewness
data: resid
statistic = 0.25895, p-value = 0.2569
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.5227, p-value = 3.349e-08No se cumple la normalidad de los residuos y empeora un poco respecto al modelo anterior.
Este modelo ya no cumple con la diagnosis tan bien como el MA(4), además el BIC es peor que con el modelo MA(4).
Por tanto el modelo que nos quedaremos al final es el MA(4) que además justamente en este caso coincide con lo obtenido con el modelizador automático.
El gráfico de MA(4):
Modelos de tipo de interés a largo plazo.
Al igual que en el Ãndice de producción industrial vemos en el gráfico de la ACF que nuestra serie presenta una clara tendencia por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez. Además he visto que hay heterocedasticisdad en la serie por lo que utilizo una transformación logaritmica.
Modelizador automático
De nuevo comenzaremos con el modelizador automático para hacernos una idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(3,0,1) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ma1
-0.3273 0.0259 0.2235 0.3885
s.e. 0.2081 0.0772 0.0751 0.2068
sigma^2 estimated as 0.003084: log likelihood=269.8
AIC=-529.59 AICc=-529.25 BIC=-513.57Hemos obtenido un un modelo ARMA(3,1)
Vemos que casi todos los retardos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 92.441, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.019832, p-value = 0.913
Kurtosis
data: resid
statistic = 6.4912, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos gracias a la kurtosis, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Este modelo ARMA(3,1) puede ser perfectamente un modelo válido.
Modelo AR
Comenzaremos esta vez buscando un modelo AR, yendo de lo especÃfico a lo general.
AR(1)
Series: X
ARIMA(1,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1
0.0440
s.e. 0.0738
sigma^2 estimated as 0.003209: log likelihood=264.74
AIC=-525.49 AICc=-525.42 BIC=-519.08Vemos que el BIC de este modelo es mejor que el del modelizador automático.
Tiene un par de retardos fuera de las bandas de confianza para la ACF y PACF.
Casi todos los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 214.35, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.083429, p-value = 0.6459
Kurtosis
data: resid
statistic = 8.3139, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Este modelo no es válido por lo que probaremos un AR(2).
AR(2)
Series: X
ARIMA(2,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2
0.0434 0.0147
s.e. 0.0739 0.0749
sigma^2 estimated as 0.003227: log likelihood=264.76
AIC=-523.53 AICc=-523.39 BIC=-513.92El BIC ha empeorado un poco respecto al modelo anterior.
Sigue habiando un par de retardos fuera de las bandas de confianza para la ACF y PACF.
Casi todos los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 212.25, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.071387, p-value = 0.6942
Kurtosis
data: resid
statistic = 8.2886, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Seguimos sin poder aceptar este modelo por lo que probaremos un AR(3).
AR(3)
Series: X
ARIMA(3,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3
0.0399 0.0102 0.2138
s.e. 0.0722 0.0731 0.0737
sigma^2 estimated as 0.003099: log likelihood=268.87
AIC=-529.74 AICc=-529.51 BIC=-516.92En este caso el BIC mejora un poco respecto al AR(2) pero es peor que el AR(1).
Aqui ya solo tiene un retardo fuera de las bandas de confianza para la ACF y PACF, lo cual se puede considerar como válido.
Ningún p-valor rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningún retardo, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 126.22, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.061524, p-value = 0.7347
Kurtosis
data: resid
statistic = 7.0779, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis pero ha mejorado respecto al modelo anterior.
Este modelo ya podemos considerarlo como nuestro modelo final.
Modelos de tipo de interés a medio plazo.
Al igual que en los tipos de interes a largo plazo vemos en el gráfico de la ACF que nuestra serie presenta tendencia por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez. Además he visto que hay heterocedasticisdad en la serie por lo que utilizo una transformación logaritmica.
Modelizador automático
De nuevo comenzaremos con el modelizador automático para hacernos una idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(4,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2
0.8257 -1.0267 0.4159 0.0007 -0.5467 0.9148
s.e. 0.0982 0.1112 0.0985 0.0950 0.0651 0.0817
sigma^2 estimated as 0.002047: log likelihood=307.53
AIC=-601.07 AICc=-600.42 BIC=-578.64Hemos obtenido un un modelo ARMA(4,2).
Vemos que todos los retardos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Ninguno de los p-valores rechaza la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 265.91, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.76826, p-value = 2.324e-05
Kurtosis
data: resid
statistic = 8.7187, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Modelo MA
Crearemos un modelo MA yendo de lo especÃfico a lo general, comenzaremos con MA(1).
MA(1)
Series: X
ARIMA(0,0,1) with zero mean
Coefficients:
ma1
0.3068
s.e. 0.0686
sigma^2 estimated as 0.002221: log likelihood=298.18
AIC=-592.36 AICc=-592.29 BIC=-585.95Vemos que con un MA(1) el BIC mejora respecto al modelizador automático.
Vemos que salvo para un retardo todos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 301.57, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.81608, p-value = 6.97e-06
Kurtosis
data: resid
statistic = 9.0913, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Este modelo cumple lo necesario para ser válido, por lo tanto no es necesario hacer un MA(2).
Modelo AR
Crearemos también un modelo AR yendo de lo general a lo particular.
AR(10)
Series: X
ARIMA(10,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8 ar9 ar10
0.2879 0.0371 0.1260 0.0696 -0.0610 -0.1175 0.0115 0.2341 0.0362 -0.3030
s.e. 0.0712 0.0738 0.0778 0.0770 0.0813 0.0789 0.0831 0.0820 0.0854 0.0801
sigma^2 estimated as 0.002018: log likelihood=310.64
AIC=-599.28 AICc=-597.73 BIC=-564.04El BIC del AR(10) es mucho peor que cualquiera de los modelos anteriores.
Vemos que hay un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y dos en la PACF lo cual no es muy buena señal.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 441.43, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.94722, p-value = 1.82e-07
Kurtosis
data: resid
statistic = 10.391, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Probaremos ahora con un AR(7).
AR(7)
Series: X
ARIMA(7,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7
0.2951 -0.0157 0.1506 0.0632 -0.0438 -0.0789 0.043
s.e. 0.0742 0.0772 0.0818 0.0833 0.0846 0.0844 0.083
sigma^2 estimated as 0.00221: log likelihood=301.65
AIC=-587.3 AICc=-586.46 BIC=-561.66El BIC empeora respecto al AR(10).
Vemos que solo hay un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y dos en la PACF lo cual sigue siendo no muy buena señal.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 519.87, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.3054, p-value = 6.511e-13
Kurtosis
data: resid
statistic = 10.857, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en la serie.
Probaremos ahora con un AR(5).
AR(5)
Series: X
ARIMA(5,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5
0.2968 -0.0194 0.1426 0.0636 -0.0568
s.e. 0.0743 0.0774 0.0815 0.0826 0.0811
sigma^2 estimated as 0.002197: log likelihood=301.18
AIC=-590.35 AICc=-589.87 BIC=-571.13En este caso el BIC mejora respecto a los dos modelos AR anteriores.
Vemos que sigue habiendo un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y otro en la PACF, esto es bastante aceptable.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 465.14, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.2067, p-value = 3.007e-11
Kurtosis
data: resid
statistic = 10.451, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Probaremos ahora con un AR(4).
AR(4)
Series: X
ARIMA(4,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4
0.2958 -0.0252 0.1380 0.0478
s.e. 0.0744 0.0770 0.0813 0.0795
sigma^2 estimated as 0.002191: log likelihood=300.93
AIC=-591.86 AICc=-591.52 BIC=-575.84El BIC vuelve a mejorar en este caso.
Vemos que sigue habiendo un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y otro en la PACF.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 434.22, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.15, p-value = 2.394e-10
Kurtosis
data: resid
statistic = 10.209, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Probaremos ahora con un AR(3).
AR(3)
Series: X
ARIMA(3,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3
0.3011 -0.0246 0.1539
s.e. 0.0739 0.0772 0.0770
sigma^2 estimated as 0.002183: log likelihood=300.75
AIC=-593.5 AICc=-593.27 BIC=-580.68El BIC vuelve a mejorar bastante respecto al modelo AR(4)
Vemos que hay un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y otro en la PACF lo cual es aceptable.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 425, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.1526, p-value = 2.179e-10
Kurtosis
data: resid
statistic = 10.123, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Probaremos ahora con un AR(2).
AR(2)
Series: X
ARIMA(2,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2
0.3098 0.0190
s.e. 0.0746 0.0748
sigma^2 estimated as 0.002219: log likelihood=298.78
AIC=-591.55 AICc=-591.42 BIC=-581.94El BIC vuelve a mejorar respecto al modelo anterior pero esta vez por poco.
Sigue habiendo solo un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 303.38, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.8673, p-value = 1.782e-06
Kurtosis
data: resid
statistic = 9.0826, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Probaremos ahora con un AR(1).
AR(1)
Series: X
ARIMA(1,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1
0.3159
s.e. 0.0706
sigma^2 estimated as 0.002208: log likelihood=298.74
AIC=-593.49 AICc=-593.42 BIC=-587.08Vemos que el BIC de nuevo es mucho mejor en este modelo.
Sigue habiendo solo un retardo fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
Niguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 301.57, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.84047, p-value = 3.675e-06
Kurtosis
data: resid
statistic = 9.078, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos.
Como el modelo AR(1) es válido este es nuestro modelo final, además tiene un BIC mejor que cualquiera de los modelos anteriores y cumple con la diagnosis.
En este caso nuestro modelo AR(1) funciona mucho mejor que el ARMA del modelizador automático.
Modelos de tipo de interés a corto plazo.
Al igual que en los tipos de interes a largo y medio plazo vemos en los gráficos anteriores que nuestra serie presenta tendencia por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez. Además he visto que hay heterocedasticisdad en la serie por lo que hago una transformación logaritmica.
Modelizador automático
De nuevo comenzaremos con el modelizador automático para hacernos una idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(4,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ma1 ma2
0.3527 -0.7903 0.2541 0.1960 0.0659 0.8880
s.e. 0.0874 0.0898 0.0882 0.0843 0.0570 0.0671
sigma^2 estimated as 0.00169: log likelihood=324.4
AIC=-634.8 AICc=-634.16 BIC=-612.38Hemos obtenido un un modelo ARMA(4,2), que viene siendo igual que el de la serie a corto plazo.
Vemos que salvo un retardo todos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Vemos que solo en unos pocos retardos los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1, aunque estan muy al lÃmite algunas.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 1211.8, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.1035, p-value = 1.222e-09
Kurtosis
data: resid
statistic = 15.447, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Este modelo no cumple muy bien la diagnosis.
Modelo AR
AR(1)
Series: X
ARIMA(1,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1
0.4037
s.e. 0.0685
sigma^2 estimated as 0.001869: log likelihood=313.86
AIC=-623.73 AICc=-623.66 BIC=-617.32Vemos que el BIC de este modelo es mejor que el del modelizador automático.
Vemos que hay un par de retardos fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF, lo cual nos puede indicar autocorrelación en los residuos.
A partir del retardo 10 los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 688.92, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.2176, p-value = 1.996e-11
Kurtosis
data: resid
statistic = 12.215, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Probaremos ahora con un AR(2)
AR(2)
Series: X
ARIMA(2,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2
0.4109 -0.0174
s.e. 0.0751 0.0752
sigma^2 estimated as 0.001879: log likelihood=313.89
AIC=-621.78 AICc=-621.65 BIC=-612.17Vemos que el BIC empeora respecto al AR(1).
Vemos que hay un par de retardos fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
A partir del retardo 10 los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 665.54, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.1979, p-value = 4.176e-11
Kurtosis
data: resid
statistic = 12.057, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
He ido probado varios modelos con el mismo diagnostico hasta que para AR(10) se corrige la autocorrelación en los resiudos.
AR(10)
Series: X
ARIMA(10,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8 ar9 ar10
0.4050 0.0532 -0.0171 0.0706 0.0784 -0.1271 -0.1108 0.3031 0.0723 -0.3515
s.e. 0.0701 0.0757 0.0795 0.0764 0.0798 0.0770 0.0809 0.0796 0.0839 0.0755
sigma^2 estimated as 0.001597: log likelihood=331.5
AIC=-641 AICc=-639.45 BIC=-605.76Vemos que en este caso el BIC es un poco peor que el AR(1)
Todos los retardos excepto uno se encuentran dentro de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
Ninguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 809.67, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.1124, p-value = 8.988e-10
Kurtosis
data: resid
statistic = 13.091, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis.
Este modelo si bien cumple mejor la diagnosis esta muy sobreparametrizado y es preferible utilizar un AR(1) que tiene mejor capacidad de predicción y no esta sobreparametrizado.
Modelo ARMA
ARMA(4,2)
Hemos visto que el modelo ARMA(4,2) es válido en el apartado del modelizador automático, por ello partiremos de aqui y veremos si se puede reducir.
ARMA(4,1)
Series: X
ARIMA(4,0,1) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ar4 ma1
0.4582 -0.0756 0.0664 0.0740 -0.0543
s.e. 0.5170 0.2244 0.0919 0.0953 0.5138
sigma^2 estimated as 0.001884: log likelihood=315.15
AIC=-618.29 AICc=-617.81 BIC=-599.07Vemos que en este caso el BIC empeora respecto al ARMA(4,2)
Hay dos retardos que se encuentran fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
A partir del retardo 10 algunos de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 954.6, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.4191, p-value = 5.465e-15
Kurtosis
data: resid
statistic = 13.855, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos.
ARMA(3,2)
Series: X
ARIMA(3,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 ma1 ma2
0.7848 -1.0971 0.5233 -0.3829 0.9210
s.e. 0.1190 0.0494 0.0667 0.1370 0.0671
sigma^2 estimated as 0.001694: log likelihood=323.64
AIC=-635.29 AICc=-634.81 BIC=-616.06Vemos que en este caso el BIC mejora respecto al ARMA(4,2)
Hay dos retardos que se encuentran fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
Ninguno de los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box para ningun retardo, lo cual no nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 631.81, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.2813, p-value = 1.705e-12
Kurtosis
data: resid
statistic = 11.761, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos.
Este modelo cumple la diagnosis, mejora el BIC y encima tiene un parámetro menos por lo que es preferible al modelo ARMA(4,2) del modelizador automático.
Probaremos por último un modelo ARMA(2,2)
ARMA(2,2)
Series: X
ARIMA(2,0,2) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 ma2
0.6437 0.0779 -0.2382 -0.2176
s.e. 0.5169 0.3056 0.5079 0.1711
sigma^2 estimated as 0.001882: log likelihood=314.73
AIC=-619.46 AICc=-619.12 BIC=-603.44Vemos que ahora el BIC empeora bastante.
Hay dos retardos que se encuentran fuera de las bandas de confianza en la ACF y PACF.
A partir del retardo 10 hay varios p-valores que rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, lo cual nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 918.24, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 1.4254, p-value = 4.138e-15
Kurtosis
data: resid
statistic = 13.628, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos.
Este modelo no cumple la diagnosis y por tanto nos quedamos con el modelo ARMA(3,2).
Apartado 2
Construye las series de los diferenciales de tipos de interés (tipos a medio y largo plazo menos tipos de interés a corto plazo) y construye modelos ARIMA igual que en el apartado anterior.
Modelos del diferencial de tipo de interés a largo plazo
De nuevo vemos que nuestra serie presenta tendencia por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez. También aplicaremos una transformación logaritmica ya que hay heterocedasticidad.
Modelizador automático
De nuevo comenzaremos con el modelizador automático para hacernos una idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(2,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2
-0.1150 -0.1539
s.e. 0.0735 0.0744
sigma^2 estimated as 0.02025: log likelihood=97.61
AIC=-189.23 AICc=-189.09 BIC=-179.62Hemos obtenido un un modelo AR(2).
Vemos que salvo un retardo todos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF.
Vemos que hay varios retardos donde sus p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box. Esto nos indica que hay autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 75.276, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.36081, p-value = 0.0469
Kurtosis
data: resid
statistic = 6.0669, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Modelo ARMA
Crearemos ahora un modelo ARMA yendo de lo especÃfico a lo general.
ARMA(1,1)
Series: X
ARIMA(1,0,1) with zero mean
Coefficients:
ar1 ma1
0.6763 -0.8248
s.e. 0.1308 0.0980
sigma^2 estimated as 0.02012: log likelihood=98.16
AIC=-190.32 AICc=-190.18 BIC=-180.7El BIC mejora ligeramente respecto al modelizador automático.
Hay un par de retardos que se encuentran fuera de las bandas de confianza tanto en la ACF como en la PACF.
Vemos que salvo para el retardo 8 los p-valores no rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, podrÃa considerarse que no existe autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 97.332, df = 2, p-value < 2.2e-16
Skewness
data: resid
statistic = 0.46475, p-value = 0.01048
Kurtosis
data: resid
statistic = 6.4599, p-value < 2.2e-16No se cumple la normalidad de los residuos, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Este modelo cumple la diagnosis y por tanto nos quedamos con este modelo final.
Modelo AR
Crearemos ahora un modelo AR, aprovechando que ya sabemos que AR(2) no cumple la diagnosis, empezaremos por un AR(3).
AR(3)
Series: X
ARIMA(3,0,0) with zero mean
Coefficients:
ar1 ar2 ar3
-0.1001 -0.1416 0.1017
s.e. 0.0739 0.0746 0.0747
sigma^2 estimated as 0.02015: log likelihood=98.54
AIC=-189.07 AICc=-188.84 BIC=-176.25El BIC en este caso es peor que el del AR(2).
Hay un retardo que se encuentra fuera de las bandas de confianza tanto en la ACF como en la PACF.
Vemos que salvo para el retardo 8 que no esta muy claro, los p-valores no rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, podrÃa considerarse que no existe autocorrelación en los residuos.
Las inversas de las raices de los polinomios son en norma todas menores que 1.
Jarque Bera Test
data: resid
X-squared = 55.557, df = 2, p-value = 8.631e-13
Skewness
data: resid
statistic = 0.30966, p-value = 0.0881
Kurtosis
data: resid
statistic = 5.6349, p-value = 3.99e-13No se cumple la normalidad de los residuos debido a la kurtosis, posiblemente debido a outliers en nuestra serie.
Este modelo cumple la diagnosis y por tanto nos quedamos con este modelo, el modelo AR(2) también podrÃa utilizarse ya que hace mejores predicciones y tiene menos parámetros pero no cumple muy bien con la no autocorrelación residual.
Modelos del diferencial de tipo de interés a medio plazo
De nuevo vemos que nuestra serie presenta tendencia por lo que es necesario diferenciar la serie al menos una vez. También aplicaremos una transformación logaritmica ya que hay heterocedasticidad.
Como podemos ver en los gráficos de la ACF y PACF anteriores solo hay un retardo que se sale de las bandas de confianza, lo cual puede significar que los residuos despues de diferenciar ya se comporten como ruido blanco.
Modelizador automático
De nuevo comenzaremos con el modelizador automático para hacernos una idea de como pueden ser nuestros modelos.
Series: X
ARIMA(0,0,0) with non-zero mean
Coefficients:
mean
-0.0001
s.e. 0.0062
sigma^2 estimated as 0.007015: log likelihood=193.59
AIC=-383.18 AICc=-383.12 BIC=-376.78No nos identifica ningún modelo.
Vemos que salvo un retardo todos se encuentran dentro de las bandas de confianza en los gráficos de la ACF y PACF, ya que son los mismos gráficos de antes.
Vemos que para ningun retardo los p-valores rechazan la H0 del estadÃstico de Ljung-Box, esto no nos indica que haya autocorrelación en los residuos.
Puesto que la serie diferenciada se comporta como un ruido blanco no hace falta estimar ningún modelo ARMA.
El modelo final es un ARIMA(0,1,0).