Commerciante di fagioli

(a) Valore atteso e deviazione standard

\(x\) … peso di 1 confezione

\(y\) … peso di 1 scatola con 16 confezioni

\(E\) = valore atteso; \(V\) = varianza; \(SD\) = deviazione standard

Ex <- 16
Vx <- 1
Ey <- 16*Ex  # sempre valido
Vy <- 16*Vx  # valido solo se gli x_i sono indipendenti
SDy <- sqrt(Vy)

(b) Peso della scattola superiore a 250

NB: deviazione standard di \(y\) è \(\sqrt{Vy}\)

1-pnorm(250, Ey, SDy)
## [1] 0.9331928

(c) Probabilità di al massimo 2 confezioni sotto peso in una scatola

Probabilità di una confezione singola sotto peso, i.e. la probabilità di “successo” per 1 tentativo (=1 confezione)

SDx <- sqrt(Vx)
p <- pnorm(16,Ex,SDx)
p
## [1] 0.5

Per una scatola abbiamo

n <- 16    # numero di tentativi (=numero di confezioni in 1 scatola)
x <- 2     # domanda: "al massimo 2 sotto peso"
pbinom(x, n, p)
## [1] 0.002090454

Il coefficiente binomiale in R: choose(n,k)

Esempio

choose(4,2)
## [1] 6
choose(3,0:3)
## [1] 1 3 3 1
choose(5,0:5)
## [1]  1  5 10 10  5  1

Soluzione alternativa per (c) “a mano”

Somma delle probabilità di esattamente 0, 1, 2 scattole sotto peso

q <- 1-p     # probabilità di insuccesso
p^n*choose(n,0) + p^(n-1)*q^1*choose(n,1) + p^(n-2)*q^2*choose(n,2)
## [1] 0.002090454

Due dadi regolari

(a) Notiamo con \(x\) il numero di successi in 600 lanci dei dadi

p <- 1/6     # probabilità di ottenere 7 (="succcesso")
n <- 600     # Numero di lanco di dadi
Ex <- n*p
Vx <- n*p*(1-p)
SDx <- sqrt(Vx)

(b) Probabilità tra (90,110] successi

Calcolo esatto

pbinom(110,n,p)-pbinom(90,n,p)
## [1] 0.7255352

Calcolo aprossimato

Notiamo con \(y\) la variabie aleatoria di Bernoulli che descrive il successo su 1 lanco dei 2 dadi

Ey <- p
Vy <- p*(1-p)

Notiamo con \(Y\) la frazione di successi su n lanci dei dadi \(Y = 1/n \Sum_{i=1}^n y_i\)

EY <- Ey
VY <- Vy/n
SDY <- sqrt(VY)
pnorm(110/n,EY,SDY) - pnorm(90/n,EY,SDY)
## [1] 0.7266783

Monete

Lanciamo una moneta 1,2,3,… volte Qual è la probabilità di ottenere 0%, 50% etc. successi

n <- 1       # lanciamo 1 volta
p <- 0.5     # probabilità di successo
x <- 0:n     # numero di successi possibili
s <- x/n     # frazione di successi
myProb <- dbinom(x, n, p)
barplot(myProb,names.arg=s)

Adesso possiamo cambiare “n”

Variabile continue

In un modello semplice, i rendimenti di qualsiasi azione sono distribuiti i.i.d di legge normale con \(\mu=0.07\) e \(\sigma=0.14\). Produci un plot della distribuzione dei rendimenti di un portafoglio di 1, 2, 5 e 10 azioni

mu <- 0.07     # rendimento 1 azione
sigma <-0.14   # rischio 1 azione
x <- seq(-0.3, 0.44, 0.01)  # valori interessanti
y <- dnorm(x,mu,sigma)
plot(x,y,'l',ylim=c(0,10))

#Adesso 2 azioni
sigma <-0.14/sqrt(2)        # rischio 2 azioni
y <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,y,col='green')

#Adesso 5 azioni
sigma <-0.14/sqrt(5)        # rischio 5 azioni
y <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,y,col='red')

#Adesso 10 azioni
sigma <-0.14/sqrt(10)       # rischio 10 azioni
y <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,y,col='blue')

Qual è la probabilità di perdere soldi (i.e. un rendimento sotto 0) in un anno con un portafolgio di 1,2,5,10 azioni?

NB: questo è un modello semplice, non è un consiglio di investimento!

sigma <-0.14/sqrt(c(1,2,5,10))       # desiazione standard di 1,2,5,10 azioni
sigma
## [1] 0.14000000 0.09899495 0.06260990 0.04427189
pnorm(0,mu,sigma)
## [1] 0.30853754 0.23975006 0.13177624 0.05692315

Una piccola simulazione

Definiamo \(X = 1/k \sum_{i=1}^k x_i\) con \(x \sim U(0,1)\) Produciamo n estrazioni di \(X\) e produciamo un’istogramma Ripetiamo per k=1,2,3..

n <- 1000
k <- 1

Una estrazione di \(X\)

X = 1/k*sum(runif(k,0,1))
X
## [1] 0.8774314

\(n\) estrazioni di \(X\)

for (u in 1:n)
{
  X[u] = 1/k*sum(runif(k,0,1))
  }

Istogramma

hist(X,breaks=seq(0,1,0.05))

Adesso possiamo cambiare k