Ejercicio 1

Para un juego de mesa en el que se utiliza un dado de seis caras, el 6 tiene especial importancia. En una partida, se ha lanzado el dado 275 veces, de las que 60 ha salido el 6. Si el dado no está cargado, esperamos que el 6 salga 275/6 = 45.8333333 veces. ¿Es razonable pensar al 95\(\%\) de confianza que el dado no está trucado?

binom.test( 60, 275, p = 1/6)
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  60 and 275
## number of successes = 60, number of trials =
## 275, p-value = 0.02847
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.1666667
## 95 percent confidence interval:
##  0.1708227 0.2717267
## sample estimates:
## probability of success 
##              0.2181818

\(p\)-valor = 0.0284671, luego rechazamos la hipótesis nula: podemos pensar que el dado está trucado.

Ejercicio 2

En una muestra de 1000 nacimientos, han nacido 530 varones. ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 5\(\%\), que en general nacen más niños que niñas?

binom.test( 530, 1000, p = 0.5, alternative = "greater" )
## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  530 and 1000
## number of successes = 530, number of trials
## = 1000, p-value = 0.03101
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5034989 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.53

\(p\)-valor = 0.0310116 \(\Rightarrow\) Rechazamos la hipótesis nula \(\Rightarrow\) Podemos considerar que nacen más niños que niñas.

Ejercicio 3

El fichero notasTest.csv contiene notas de dos exámenes tipo test (inicial y final) realizado en dos clases diferentes. Se quiere saber: a. La media de las notas del examen inicial es 22. b. La media de la clase A es distinta de la de la clase B en el examen inicial. c. La media de la clase A se modifica en el examen final respecto del inicial. d. La media de la clase B se modifica en el examen final respecto del inicial. e. La media mejora en el examen final respecto del inicial.

examen <- read.table( file = "notasTest.csv", header = T, sep = ";" )

a) La media de las notas del examen inicial es 23

qqnorm( examen$notaInicial )
qqline( examen$notaInicial )

shapiro.test( examen$notaInicial ) #Menos de 50 observaciones
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaInicial
## W = 0.96838, p-value = 0.2189

El test de Shapiro-Wilk resulta no significativo, por lo que podemos suponer la normalidad.

\[\mu = 23\] \[\mu \neq 23\]

t.test( examen$notaInicial, mu = 23, alternative = "two.sided" )
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  examen$notaInicial
## t = 0.5379, df = 47, p-value = 0.5932
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 23
## 95 percent confidence interval:
##  21.74419 25.17248
## sample estimates:
## mean of x 
##  23.45833

\(p\)-valor = 0.5931812 \(> 0.5\), luego aceptamos la hipótesis nula de que la media es 23.

b) La media de la clase A es distinta de la de la clase B en el examen inicial.

#Clase A
#Utilizamos primero los gráficos Q-Q
qqnorm( examen$notaInicial[ examen$clase == "A" ] )
qqline( examen$notaInicial[ examen$clase == "A" ] )

shapiro.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "A"] )
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaInicial[examen$clase == "A"]
## W = 0.96586, p-value = 0.5667
#Clase B
qqnorm( examen$notaInicial[ examen$clase == "B" ] )
qqline( examen$notaInicial[ examen$clase == "B" ] )

shapiro.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "B"] )
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaInicial[examen$clase == "B"]
## W = 0.96544, p-value = 0.5568

En ambos grupos el test de Shapiro es no significativo, por lo que aceptamos la hipótesis de normalidad para ambos.

library( car )
leveneTest( notaInicial ~  clase, data = examen )
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  1  0.1557  0.695
##       46
#bartlett.test( notaInicial ~  clase, data = examen )
#fligner.test( notaInicial ~ clase, data = examen )

El test de Levene es no significativo, luego aceptamos también la hipótesis de homocedasticidad.

t.test( notaInicial ~ clase, alternative = "two.sided", data = examen )
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  notaInicial by clase
## t = 0.77913, df = 45.579, p-value = 0.4399
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -2.112220  4.778887
## sample estimates:
## mean in group A mean in group B 
##        24.12500        22.79167
#Otra forma de escribirlo:
# t.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "A" ], 
#         examen$notaInicial[ examen$clase == "B" ], 
#         alternative = "two.sided" )

\(p\)-valor = t.test( notaInicial ~ clase, alternative = "two.sided", data = examen )$p.value, luego aceptamos la hipótesis nula: no se han encontrado diferencias entre las medias según la clase.

c) La media de la clase A se modifica en el examen final respecto del inicial.

#Nota inicial A
#shapiro.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "A" ] ) #Ya lo tenemos
shapiro.test( examen$notaFinal[ examen$clase == "A" ] )
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaFinal[examen$clase == "A"]
## W = 0.9517, p-value = 0.2947

Teníamos ya la normalidad para la nota inicial en la clase A y, además, el test de Shapiro también es no significativo para la notaFinal, por lo que podemos aceptar la normalidad.

fligner.test( notaInicial[ clase == "A" ] ~ notaFinal[ clase == "A" ], data = examen )
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of
##  variances
## 
## data:  notaInicial[clase == "A"] by notaFinal[clase == "A"]
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 16.041, df
## = 16, p-value = 0.4501

El test de Fligner-Killen es no significativo, por lo que aceptamos la homocedasticidad.

Contraste: \[\mu_{inic} \leq \mu_{final}\] \[\mu_{inic} > \mu_{final}\]

t.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "A"] , 
        examen$notaFinal[ examen$clase == "A"], 
        alternative = "two.sided",
        paired = TRUE )
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  examen$notaInicial[examen$clase == "A"] and examen$notaFinal[examen$clase == "A"]
## t = -0.19423, df = 23, p-value = 0.8477
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.456315  1.206315
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                  -0.125

\(p\)-valor > 0.05, luego no hemos encontrado diferencias entre el examen inicial y el final para la clase A.

d) La media de la clase B se modifica en el examen final respecto del inicial.

#shapiro.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "B" ] )  #Ya lo tenemos
shapiro.test( examen$notaFinal[ examen$clase == "B" ] )
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaFinal[examen$clase == "B"]
## W = 0.94107, p-value = 0.1724
fligner.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "B" ], 
              examen$notaFinal[ examen$clase == "B" ] )
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of
##  variances
## 
## data:  examen$notaInicial[examen$clase == "B"] and examen$notaFinal[examen$clase == "B"]
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 11.82, df
## = 15, p-value = 0.6926

Contraste: \[\mu_{inic} \leq \mu_{final}\] \[\mu_{inic} > \mu_{final}\]

t.test( examen$notaInicial[ examen$clase == "B"] , 
        examen$notaFinal[ examen$clase == "B"], 
        alternative = "two.sided",
        paired = TRUE )
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  examen$notaInicial[examen$clase == "B"] and examen$notaFinal[examen$clase == "B"]
## t = -4.7048, df = 23, p-value = 9.714e-05
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -3.839170 -1.494163
## sample estimates:
## mean of the differences 
##               -2.666667

\(p\)-valor < 0.05, luego rechazamos la hipótesis nula y podemos concluir que parece que hay diferencia en las medias del examen final y el inicial.

e) La media mejora en el examen final respecto del inicial.

#Nota inicial A
shapiro.test( examen$notaInicial ) 
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaInicial
## W = 0.96838, p-value = 0.2189
shapiro.test( examen$notaFinal )
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  examen$notaFinal
## W = 0.95559, p-value = 0.06701
fligner.test( notaInicial ~ notaFinal, data = examen )
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of
##  variances
## 
## data:  notaInicial by notaFinal
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 20.641, df
## = 19, p-value = 0.357

Contraste: \[\mu_{final} \leq \mu_{inic}\] \[\mu_{final} > \mu_{inic}\]

# mean( examen$notaInicial )
# mean( examen$notaFinal )
t.test( examen$notaInicial , 
        examen$notaFinal, 
        alternative = "less",
        paired = TRUE )
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  examen$notaInicial and examen$notaFinal
## t = -3.0152, df = 47, p-value = 0.002066
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##        -Inf -0.6190635
## sample estimates:
## mean of the differences 
##               -1.395833

El t-test es significativo, por lo que aceptamos la hipótesis nula: la media del examen final mejora con respecto al inicial.

Ejercicio 4

Fichero esperanzaVida.csv.

a. ¿Es la esperanza de vida general de 80 años?
b. ¿Podemos observar diferencias en la esperanza de vida entre hombres y mujeres?
c. ¿Es la esperanza de vida de las mujeres holandesas mayor que la de las españolas? 
d. ¿Hay diferencias entre la esperanza de vida de los hombres holandeses y las mujeres españolas?
esperanza <- read.table( file = "esperanzaVida.csv", sep = ";", header = T)

a) ¿Es la esperanza de vida general de 80 años? 

ks.test( esperanza$edadMuerte, "pnorm" ) #Más de 50 observaciones: kolmogorov
## Warning in ks.test(esperanza$edadMuerte, "pnorm"):
## ties should not be present for the Kolmogorov-
## Smirnov test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
length( esperanza$edadMuerte ) #Suponemos normalidad por el TCL
## [1] 70

El test de Kolmogorov-Smirnov no nos garantiza la normalidad (es significativo), pero podemos suponerla si recurrimos al Teorema Central del Límite, por tener un número suficientemente grande de observaciones.

t.test( esperanza$edadMuerte, mu = 80, alternative = "two.sided")
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte
## t = 0.3879, df = 69, p-value = 0.6993
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 80
## 95 percent confidence interval:
##  77.21830 84.12456
## sample estimates:
## mean of x 
##  80.67143

El t-test es no significativo, por lo que aceptamos la hipótesis nula.

** b) ¿Podemos observar diferencias en la esperanza de vida entre hombres y mujeres? **

shapiro.test(esperanza$edadMuerte[esperanza$sexo == "M"]) #35 obs
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte[esperanza$sexo == "M"]
## W = 0.94448, p-value = 0.07669
shapiro.test(esperanza$edadMuerte[esperanza$sexo == "F"]) #35 obs 
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte[esperanza$sexo == "F"]
## W = 0.88754, p-value = 0.001859

El test de Shapiro-Wilk es significativo para el grupo de las mujeres, pero, de nuevo, recurriendo al Teorema Central del Límite podemos suponer la normalidad.

fligner.test( edadMuerte ~ sexo, data = esperanza) #Más robusto a la falta de                                                       normalidad
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of
##  variances
## 
## data:  edadMuerte by sexo
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.12967,
## df = 1, p-value = 0.7188

El test de Fligner-Kilen es no significativo, por lo que aceptamos la HOV.

t.test( edadMuerte ~ sexo, alternative = "two.sided", data = esperanza)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  edadMuerte by sexo
## t = 1.6633, df = 67.797, p-value = 0.1009
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.13597 12.50740
## sample estimates:
## mean in group F mean in group M 
##        83.51429        77.82857

Aceptamos la hipótesis nula de que no hay diferencias en la esperanza de vida entre hombres y mujeres.

c. ¿Es la esperanza de vida de las mujeres holandesas mayor que la de las españolas?

shapiro.test(esperanza$edadMuerte[esperanza$pais == "HOL"]) 
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte[esperanza$pais == "HOL"]
## W = 0.93594, p-value = 0.03099
shapiro.test(esperanza$edadMuerte[esperanza$pais == "ESP"])
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  esperanza$edadMuerte[esperanza$pais == "ESP"]
## W = 0.92322, p-value = 0.02545

Volvemos a suponer la normalidad por el Teorema Central del Límite.

fligner.test( edadMuerte ~ pais, data = esperanza )
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of
##  variances
## 
## data:  edadMuerte by pais
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.30581,
## df = 1, p-value = 0.5803

Aceptamos la homocedasticidad.

t.test( edadMuerte ~ pais, alternative = "two.sided", data = esperanza)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  edadMuerte by pais
## t = -0.64001, df = 59.663, p-value = 0.5246
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -9.378000  4.831947
## sample estimates:
## mean in group ESP mean in group HOL 
##          79.43750          81.71053

Aceptamos la hipótesis nula: no hay diferencias.