Distribuzione Parteo (facoltativo)

La distribuzione di Pareto, introdotta da Vilfredo Pareto nel 1896, è usata come modello per la distribuzione dei redditi. La sua densità \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\), \(\alpha >1\) e \(x_{0}>0\), è definita come segue:

\[f(x;x_{0};\alpha )=\left\{ \begin{array}{c} \alpha x^{-(\alpha +1)}x_{0}^{\alpha }\quad ,\quad x\in \lbrack x_{0},\infty ) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad ,\quad x\in \lbrack 0,x_{0}) \end{array} \right. .\]

Si disegnino \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\) …

x0    <- 1         
alpha <- 2

# La densità della Pareto come funzione
fx <- function(x) { alpha*x^-(alpha+1)*x0^alpha }
curve(fx,
      from=x0, to=4*x0,     # limiti del calcolo
      xlim=c(0,4*x0),       # limiti del disegno
      main="Densita della distribuzione Pareto")

… e \(F(\cdot ;x_{0};\alpha )\)

Fx    <- function(x) { 1 - (x0/x)^alpha }
curve(Fx, 
      from=x0, to=4*x0, 
      xlim=c(0,4*x0),
      main="Funzione di ripartizione della distribuzione Pareto")

Distribuzione Esponenziale

Si disegni un grafico di \(f_X\) e di \(F_X\).

lambda <- 1/8

fx     <- function(x) { lambda*exp(-lambda*x) }
curve(fx, 
      from=0, to=4/lambda,
      main="Densità della distribuzione exponenziale")

Fx    <- function(x) { 1 - exp(-lambda*x) }
curve(Fx, 
      from=0, to=4/lambda,
      main="Funzione di ripartizione della distribuzione exponenziale")

Si assuma che la durata della vita di un televisore segua una distribuzione esponenziale con parametro \(\lambda = 1/8\). Si calcoli la probabilità che la durata della vita di un televisore appena acquistato sia superiore a 8 anni.

NB: Ricodriamoci che

# Durata di vita di un televisore
lambda <- 1/8
x      <- 8
1 - pexp(x,lambda)
## [1] 0.3678794

Altezza di bambini

Si supponga che l’altezza, in centimetri, di bambini ticinesi di 10 anni sia una variabile aleatoria normale con parametri \(\mu =140\) e \(\sigma =6\).

Qual è la percentuale di bambini di altezza superiore a 150 centimetri?

NB: Ricodriamoci che

  • pnorm(x,mu,sigma) ritorna \(P(X\leq x)\) per \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
  • \(P(X>x) = 1 - P(X\leq x)\).
x <- 150
mu <- 140
sigma <- 6
1-pnorm(x,mu,sigma)
## [1] 0.04779035

C’è un’alternativa che non consideriamo usando lower.tail=FALSE

pnorm(x, mu, sigma, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.04779035

Tra i bambini più alti di 145 centimetri, quale percentuale è più alta di 150 centimetri?

(1-pnorm(150,mu,sigma)) / (1-pnorm(145,mu,sigma))
## [1] 0.2362019

Conducenti ubriacati

Il sabato sera la polizia del canton Ginevra sottopone ad un test dell’alcool tutti gli automobilisti che passano sulla strada cantonale.

Qual è la proporzione di automobilisti multati (tasso dell’alcool superiore a 0.05%) se si suppone che il tasso di alcool negli automobilisti’?? distribuito secondo una distribuzione normale con valore atteso \(\mu=0.04\%\) e scarto quadratico medio \(\sigma=0.01\%\)?

x <- 0.05
mu <- 0.04
sigma <- 0.01
1-pnorm(x,mu,sigma)
## [1] 0.1586553

Oltre alla multa, i conducenti con un tasso di alcool superiore a 0.06% subiscono un ritiro della patente. Degli automobilisti multati, qual è la proporzione di quelli a cui viene ritirata la patente?

Conducenti che perdono la patente

1-pnorm(0.06,mu,sigma)
## [1] 0.02275013

Proporzione di conducenti multati che perdono la patente

(1-pnorm(0.06,mu,sigma)) / (1-pnorm(0.05,mu,sigma))
## [1] 0.1433935