Distribuzione Parteo

La distribuzione di Pareto, introdotta da Vilfredo Pareto nel 1896, è usata come modello per la distribuzione dei redditi. La sua densità \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\), \(\alpha >1\) e \(x_{0}>0\), è definita come segue:

\[f(x;x_{0};\alpha )=\left\{ \begin{array}{c} \alpha x^{-(\alpha +1)}x_{0}^{\alpha }\quad ,\quad x\in \lbrack x_{0},\infty ) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad ,\quad x\in \lbrack 0,x_{0}) \end{array} \right. .\]

Si disegnino \(f(\cdot ;x_{0};\alpha )\) …

x0    <- 1         
alpha <- 2
x     <- seq(x0,4*x0,0.1)   # valori x instessanti tra x0 e 4*x0

fx    <- alpha*x^-(alpha+1)*x0^alpha
plot(x,fx,"l", xlim=c(0,4*x0),
     main="Densità della distribuzione Pareto")

… e \(F(\cdot ;x_{0};\alpha )\)

Fx    <- 1 - (x0/x)^alpha
plot(x,Fx,"l", xlim=c(0,4*x0),
     main="Funzione di riparto della distribuzione Pareto")

Altezza di bambini

Si supponga che l’altezza, in centimetri, di bambini ticinesi di 10 anni sia una variabile aleatoria normale con parametri \(\mu =140\) e \(\sigma =6\).

Qual’è la percentuale di bambini di altezza superiore a 150 centimetri?

NB: Ricodriamoci che

  • pnorm(x,mu,sigma) ritorna \(P(X\leq x)\) per \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
  • \(P(X>x) = 1 - P(X\leq x)\).
x <- 150
mu <- 140
sigma <- 6
1-pnorm(x,mu,sigma)
## [1] 0.04779035

Tra i bambini più alti di 145 centimetri, quale

percentuale e più alta di 150 centimetri?

(1-pnorm(150,mu,sigma)) / (1-pnorm(145,mu,sigma))
## [1] 0.2362019

Conducenti ubriacati

Il sabato sera la polizia del canton Ginevra sottopone ad un test dell’alcool tutti gli automobilisti che passano sulla strada cantonale.

Qual’è la proporzione di automobilisti multati (tasso dell’alcool superiore a 0.05%) se si suppone che il tasso di alcool negli automobilisti’è distribuito secondo una distribuzione normale con valore atteso \(\mu=0.04\%\) e scarto quadratico medio \(\sigma=0.01\%\)?

x <- 0.05
mu <- 0.04
sigma <- 0.01
1-pnorm(x,mu,sigma)
## [1] 0.1586553

Oltre alla multa, i conducenti con un tasso di alcool superiore a 0.06% subiscono un ritiro della patente. Degli automobilisti multati, qual’è la proporzione di quelli a cui viene ritirata la patente?

Conducenti che perdono la patente

1-pnorm(0.06,mu,sigma)
## [1] 0.02275013

Proporzione di conducenti multati che perdono la patente

(1-pnorm(0.06,mu,sigma)) / (1-pnorm(0.05,mu,sigma))
## [1] 0.1433935