Gränsvärden, Derivator och Integraler

Ryacas paketet

Gränsvärden

Derivator

Integraler

I följande slides kommer jag att visa er vad Yacas är för något samt hur det är integrerat med Ryacas paketet vilket kommer att hjälpa oss i följande delmoment.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9

Yacas är ett datoriserat algebra system (fritt översatt) och står för Yet Another Computer Algebra System. Ett sådant system kan manipulera symboliska uttryck och hitta gränsvärden, lösa ekvationer, derivera och integrera med mera.

www.yacas.org

Av denna orsak lämpar det sig väl för det som del 2 av kursen innehåller! R är som sagt ett statistiskt paket, men det finns även funktioner för derivator och integraler med mera. Dock kommer jag att i första hand förlita mig på Ryacas paketet där tillfälle ges då det är mer lättförståeligt och enhetligt.

tillbaka

Ryacas är ett R paket som för över funktionaliteten från Yacas till R (för den skarpsynte: Ryacas <-> R Yacas). Alltså kan man lösa ekvationer genom att skriva koden i R istället!

https://code.google.com/archive/p/ryacas/

Det finns även tillgängligt ett paket kallat rSymPy som överför liknande funktioner från Python programmeringsspråket. Men återigen så använder vi nu Ryacas istället.

tillbaka

Ni installerar Ryacas, öppnar paketet och hjälpfilen med följande kod.

install.packages("Ryacas")
library(Ryacas)
?`Ryacas-package`

De tidigare hemsidorna är väldigt hjälpsamma med den kod som krävs för att programmera. Men i kursen som ni går nu så skall vi begränsa funktionaliteten till de ändamål ni har och ni kommer därmed endast få ta del av grundläggande kod för att kunna använda Yacas till det viktigaste för er: Gränsvärden, Derivator och Integraler.

tillbaka

När ni börjar använda Ryacas så kan ni kalla funktionen yacas

yacas()

Inuti parantesen lägger ni sedan in den kod som behövs för att lösa ekvationer, derivera eller vad ni nu vill göra. Man kan även skriva koden som skall läggas in omgivet av funktionen expression för att ange att det är ett matematiskt uttryck man vill titta på

expression()

Alltså

yacas( expression( ) )

tillbaka

Ett ''problem'' för en nybörjare som skall lära sig använda Yacas är att koden kan se ut på många olika sätt men producera samma svar. Exempelvis ger

yacas(expression(Integrate(1/x, x)))

yacas("Integrate(x)1/x")

x <- Sym("x")
Integrate(1/x, x)

Alla samma svar

expression(log(x))

tillbaka

Jag har bestämt att två av sätten att skriva koden blir enklast för er att förstå. Ta tillexempel nedan formel som jag vill utveckla till ett polynom. Notera återigen att ni inte behöver öppna paketet varje gång utan det är bara del av min presentation. Det första sättet är

library(Ryacas)
yacas("Expand((x+1)^2)")

expression(x^2 + 2 * x + 1)

Nu har R, och närmare bestämt Yacas, utvecklat polynomet åt mig. Här användes situationstecken.

tillbaka

Det andra sättet är att helt och hållet gå in ett ett “yacas-läge” där man alltså kan skriva fritt utan att skriva yacas framför varje kommando.

library(Ryacas) 
yacmode()

Sedan när ni är färdiga med att skriva kod kan ni gå ur detta läge med: stop, end, quit, exit eller e.

tillbaka

Slutligen så kan ni få en lite annorlunda och ibland tydligare utskrift med funktionen PrettyForm. Ni behöver inte ta hänsyn till koden under ekvationen.

library(Ryacas)
yacas("PrettyForm(Expand((x+1)^2))")

 2            

x  + 2 * x + 1



<OMOBJ>

  <OMS cd="logic1" name="true"/>

</OMOBJ>

tillbaka

Det samma gäller för funktionen EvalFormula

library(Ryacas)
yacas("EvalFormula(Expand((x+1)^2))")

      /          2 \    2            

Expand\ ( x + 1 )  / = x  + 2 * x + 1



<OMOBJ>

  <OMS cd="logic1" name="true"/>

</OMOBJ>

tillbaka

I följande slides kommer jag att visa er hur vi kan hitta gränsvärden till funktioner med hjälp av R och Yacas.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9 — del 10 — del 11

Vi kan hitta gränsvärden till funktioner genom att använda funktionen Limit. Vi skall börja med att titta på ett exempel med funktionen \( y = \frac{1}{x} \), eller som vi skulle kunna representera denna i R med

library(Ryacas)
yacas("1/x")

expression(1/x)

tillbaka

Med vårt paket Ryacas så kan vi undersöka gränsvärdena när x går mot 0 samt när x går mot oändligheten åt höger och åt vänster. Som sagt så kan vi skriva detta på olika sätt, men jag väljer att skapa symbolen x för detta ändamål. Sedan använder jag funktionen Limit för att hitta gränsvärden.

library(Ryacas)
yacas("Limit(x, 0) 1/x")

expression(NaN)

yacas("Limit(x, Infinity) 1/x")

expression(0)

yacas("Limit(x, -Infinity) 1/x")

expression(0)

Tycker ni att detta stämmer överens med figuren?

tillbaka

Vi kan se detta genom att förenkla ekvationen. Vi kan faktorisera polynomen, både uppe och nere, använder ni funktionen PrettyForm så syns det enklast för er. Det övre och undre polynomen kan faktoriseras som

library(Ryacas)
yacas("Factors(x^2 + 4*x - 12)")

expression(list(list(x + 6, 1), list(x - 2, 1)))

library(Ryacas)
yacas("Factors(x^2 - 2*x)")

expression(list(list(x - 2, 1), list(x, 1)))

tillbaka

För att tyda koden som kommer ut i förgående slide betyder den att det övre polynomet kan skrivas som

\[ ( x - 2 ) * ( x + 6 ) \]

medan det undre polynomet kan skrivas som

\[ ( x - 2 ) * ( x ) \]

På så sätt ser vi att ekvationen som blir kvar är

\[ \frac{(x + 6)}{x} \]

tillbaka

Stoppar vi in 2 i denna ekvation så får vi

\[ \frac{(x + 6)}{x} = \{ x = 2 \} = \frac{8}{2} = 4 \]

vilket alltså ger oss exakta gränsvärdet även fast ekvationen innan vi skrev om den gav oss \( \frac{0}{0} \) som var obestämt. För att plotta funktionen korrekt krävs alltså att man lägger till gränsvärdet.

tillbaka

I följande slides kommer jag visa hur vi kan hantera derivator i R.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7

Derivatans definition kommer av ett gränsvärde

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

deriveringsregler tar över efter att man har lärt sig hantera denna ekvation och dess funktion.

tillbaka

Vi kan ta ett exempel \( f(x) = 2x^2 - 16x +35 \)

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^2 - 16(x+h) + 35 - (2x^2 - 16x + 35)}{h} \]

\[ f'(x) = 4x - 16 \]

tillbaka

Men det där var ju inte lite jobbigt… Vi kan låta datorn göra jobbet i R. Vi tar helt enkelt gränsvärdet!

library(Ryacas)
yacas("Limit(h,0) (2*(x+h)^2 - 16*(x+h) + 35 - (2*x^2 - 16*x + 35))/h")

expression(4 * x - 16)

så får vi genast ut gränsvärdet vi sökte, och därmed också derivatan.

tillbaka

Men vi vill kunna derivera utan att behöva ange derivatans definition. Då kan vi istället använda en funktion i R för att derivera genast.

library(Ryacas)
yacas("Deriv(x) 2*x^2 - 16*x + 35")

expression(4 * x - 16)

Så fick vi genast ut derivatan. Självklart måste ni kunna ta derivatan själva utifrån de regler som finns tillgängliga.

tillbaka

Hur fick vi ut figuren på förgående sida? Om funktionen vi tittade på var \( y = f(x) = x^2 \) och derivatan var \( y' = f'(x) = 2x \) så kan vi använda en punkts formeln. Lutningen på kurvan \( k \) är alltså lika med derivatan i det här fallet och \( x_1 \) och \( y_1 \) är den punkt vi till titta på.

\[ (y - y_1) = k(x - x_1) \]

\[ y = 2 x_1 x - 2 x_1 x_1 + y_1 \]

Lägger vi in \( x_1 = \frac{1}{2} \) och \( y_1 = x_1^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \) så får vi

\[ y = 2 * \frac{1}{2} * x - 2 * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = x - \frac{1}{4} \]

tillbaka

Slutligen kommer jag att visa er hur ni kan beräkna integraler i R.

Tillbaka till innehållsförteckningen

del 1 — del 2 — del 3 — del 4 — del 5 — del 6 — del 7 — del 8 — del 9

Vi kan få ut arean mellan dessa kurvor genom att ta integralen av mellanskillnaden i R. Formeln som vi löser är

\[ \int_{0}^{4} \bigg( x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} \bigg) dx \]

och i R

library(Ryacas)
yacas("Integrate(x,0,4) x^(1/2) - x/2")

expression(4/3)

tillbaka

Tar ni däremot det uppdelat som två integraler där ni VET att den ena är under x-axeln och sätter ett minustecken

\[ \int_{-2}^{0} \bigg( x^3 - 4*x \bigg) dx - \int_{0}^{2} \bigg( x^3 - 4*x \bigg) dx \]

så får ni fram den totala arean mellan x-axeln och kurvan över detta intervall

library(Ryacas)
yacas("(Integrate(x,-2,0) x^3 - 4*x) - (Integrate(x,0,2) x^3 - 4*x)")

expression(8)

tillbaka

Ett annat alternativ till att lösa samma problem är att vända på intervallgränserna istället för att sätta ett minustecken framför integralen.

\[ \int_{-2}^{0} \bigg( x^3 - 4*x \bigg) dx + \int_{2}^{0} \bigg( x^3 - 4*x \bigg) dx \]

så får ni också fram den totala arean mellan x-axeln och kurvan över detta intervall

library(Ryacas)
yacas("(Integrate(x,-2,0) x^3 - 4*x) - (Integrate(x,0,2) x^3 - 4*x)")

expression(8)

tillbaka