Лабораторная №5

Задание. Нарисовать графики выборочных плотностей статистик для критерия Пирсона, для случая нулевой гипотезы и альтернативной.

Пусть наша выборка из стандартного нормального распределения (среднее=0, дисперсия=1) \(\mathcal{N}(0, 1)\).

Гипотеза \(H_0\) будет состоять в том, что распределение \(\mathcal{N}(0, 1)\)

Альтернативная гипотеза \(H_1\) будет состоять в том, что распределение \(\mathcal{N}(0.2, 1)\)

Определим функцию chiStatisticGen, которая считает статистику \({\chi}^2\) для случайной выборки, полученной из генератора. Число карманов, при вычислении статистики, у нас будет равно 10.

DF <- 10
I_ERROR_P = 0.05
chiStatisticGen <- function(bins, mean, sd,  N = 1000){
  sample <- rnorm(N, mean=mean, sd=sd)
  breaks <- seq(min(sample), max(sample), length.out = bins + 1)
  hst <- hist(sample, breaks=breaks, plot=FALSE)
  breaks_cdf <- pnorm(hst$breaks, mean = 0, sd = 1)
  probs = rollapply(breaks_cdf, 2, function(x) x[2]-x[1])
  #chiTest <- chisq.test(hst$counts, p=probs)
  probsN <- probs * N
  ls <- mapply(function(a,b){ ((a - b) ^ 2) / b }, hst$counts, probsN)
  list(statistic = Reduce('+', ls), test = list())
}

Сгенерируем две выборки для статитстики, для случая \(H_0\) и \(H_1\)

ff1 <- function(n) chiStatisticGen(DF, 0, 1)$statistic
ff2 <- function(n) chiStatisticGen(DF, 0.2, 1)$statistic
h0_pdf = data.frame(unlist(Map(ff1, seq(1, 1000))))
h1_pdf = data.frame(unlist(Map(ff2, seq(1, 1000))))
colnames(h0_pdf) <- c('value')
colnames(h1_pdf) <- c('value')

Построим гистограммы выборочных плотностей ститистик в случае гипотез \(H_0\) (красным) и \(H_1\) (зеленым).

Синим цветом обозначена теоритическая плотность распределения \({\chi^2_{k-1}}\)

Синми закрашена критическая область для уровня значимости 0.05

s <- qchisq(1-I_ERROR_P, df = DF - 1)
chiValues <- data.frame(matrix(unlist(Map(function(x) c(x, dchisq(x,df=DF-1)), seq(s, 35))), byrow = TRUE, ncol = 2))
criticalArea <- rbind(c(s, 0), chiValues)
ggplot(data=h0_pdf) + geom_histogram(aes(x=value, y=..density..), col='red', alpha=0.5, fill='red', binwidth=2) + stat_function(size=1.3,fun=dchisq, col='blue', args=list(df=DF-1)) + geom_histogram(data=h1_pdf, aes(x=value, y=..density..), col='green', alpha=0.5, fill='green', binwidth=2) + xlim(c(0,100)) + geom_polygon(data=criticalArea, aes(X1,X2), fill='blue')

Определим мощность критерия. Мощность критерия - это вероятность отклонить гипотезу \(H_0\), если на самом деле верна алтернативная гипотеза \[ P(T \in \Omega_{\alpha} \mid H_1) \]

Графически, эта вероятность будет равна площади под зеленым графиком при \(x>=16.918\)

v <- qchisq(1 - I_ERROR_P, df=DF-1)
power = 1 - ecdf(h1_pdf$value)(v)

Получаем мощность критерия равна 0.996. Имея мощность, можем вычислить вероятность ошибки II рода, получаем 0.004