2015年12月29日
研究動機與目的
標準普爾 500 綜合指數 (Standard and Poor’s 500 Composite Index) S&P500 指數成份股主要由美國 500 家上市公司所組成,其中包括 400 家工業類股、 40 家金融類股、40 家公用事業與 20 家運輸類股，涵蓋的交易所包含紐約證券交易所、美國證券交易所與那斯達克交易所與道瓊工業平均指數相比，道瓊工業指數(價格加權指數)只包含美國前 30 大的公司股票，而 S&P500 指數包含的公司更多，更能充分反應美國股票市場的變化，對於投資者來說，以 S&P500 指數當作投資的基準 (benchmark)，更能降低投資者的風險，使得投資風險更為分散，因此 S&P500 指數視為美國股市具代表性，因此我們想要利用時間序列模型去配適S&P500指數，並且探討我們所配適的模型好壞。
資料介紹 (1)
- 資料期間 ： 2005/1/1 ~ 2014/12/31
- 資料來源 ： WRDS Wharton Research Data Services
- 每年 252 筆 (假日無資料)
- 共 2437 筆資料
資料介紹 (2)
Ｓ＆Ｐ走勢
對數報酬走勢
敘述統計(1)
敘述統計(2)
解釋對數報酬走勢與敘述統計
- 從對數報酬走勢可以發現明顯的波動度重聚，每當有大波動會伴隨著大波動一段期間。
- 從敘述統計量及直方圖顯示出明顯的厚尾分配。
- 綜合以上特性，我們考慮在最後加入Garch Model來衡量模型變異數異質變異的部分。
單根檢定
- H0: 有單根 (資料非定態) v.s. H1: 無單根 (資料定態)
Augmented Dickey-Fuller Test
data: R
Dickey-Fuller = -10, Lag order = 10, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Phillips-Perron Unit Root Test
data: R
Dickey-Fuller Z(alpha) = -2000, Truncation lag parameter = 8,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
P-Value < 0.05 ，有充分證據顯示報酬率資料無單根 (資料定態)
對數報酬的ACF 與 PACF
p、q選取準則
- 由 ACF 圖可以看出前兩根特別突出。
- 從移除掉lag-1的PACF圖則是顯示lag-2特別突出。
- 綜合以上ACF與PACF，我們認為模型可能為Arma(2,2)，為求周全，我們將P考慮為0,1,2，q考慮為1,2，並對此六個候選模型進行模型選取。
Candidate Model
判斷準則
- 由於 BIC 擁有較好的大樣本性質，我們以BIC為主要選取準則。
- 透過BIC最小準則，我們初步排除掉ARMA(0,1)、ARMA(1,1)、ARMA(2,2)等BIC較大的model。
Arma(0,2) 樣本外預測
Arma(1,2) 樣本外預測
Arma(2,1) 樣本外預測
Estimate and Model Selection
- 由上述表格可以得知 ARMA(0,2)，不論樣本內或樣本外，其RMSE都最小。
殘差的ACF 與 PACF
殘差檢定
- H0: 有單根 ; 殘差非定態 v.s. H1: 沒有單根 ; 殘差定態
Augmented Dickey-Fuller Test
data: residual1
Dickey-Fuller = -10, Lag order = 10, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Phillips-Perron Unit Root Test
data: residual1
Dickey-Fuller Z(alpha) = -2000, Truncation lag parameter = 8,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
- H0: The data are independently distributed v.s. H1: The data are not independently distributed
Box-Ljung test
data: residual1
X-squared = 0.003, df = 1, p-value = 1
殘差檢定解釋
- 從ACF與PACF可以粗略判斷為White Noise
- 我們進一步做ADF-test及PP-test，可得P-value< 0.05，有充分證據顯示殘差為定態。再透過Ljung-Box test，可得P-value > 0.05，有充分證據顯示殘差無序列相關。
- 因此我們可結論殘差符合 White Noise
ARMA(0,2) + Garch(1,1) Estimation
Arma(0,2) + Garch(1,1) 樣本外預測
結論
- 我們針對美國 500 家上市公司所組成的指數(S&P500)建構其預測模式，其研究期間為資料期間:2005/1/1~2013/12/31 日資料做為樣本內資料，以單變量 ARIMA 模式進行研究。模型顯示ARMA(0,2)為最適模型。
- 報告的後半段，我們加入Garch(1,1)來解釋我們在敘述統計發現波動度重聚的現象。我們發現 ARMA(0,2) + Garch(1,1) 不但可以考慮隨機項的變異數為異質變異，還可以得到更小的RMSE，因此我們可以結論，在配適及預測S&P500的對數報酬，ARMA(0,2) + Garch(1,1)為最佳的配適模型。