Dominio y rango

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Determinar el dominio , rango y realizar la gráfica de:
\[f(x)=\displaystyle\frac{x+2}{x-3}\]

                                             > Solución

• Cálculo del dominio: Una función racional no está definida si el denominador es igual a cero.
  \[x-3=0\Rightarrow x=3\] Luego \(Dom(f)=\mathbb{R}-\{3\}=(-\infty,3) \cup (3,+\infty)\).

• Cálculo del rango:
  
  1. Despejar \(x\)

\begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] y=\displaystyle\frac{x+2}{x-3} & \Rightarrow & y(x-3)=x+2 \\[0.2cm] & \Rightarrow & xy-3y=x+2 \\[0.2cm] & \Rightarrow & xy-x=2+3y \hspace{2mm} Agrupando\hspace{1mm} las\hspace{1mm}x\\[0.2cm] & \Rightarrow & x(y-1)=2+3y\hspace{2mm} Factor\hspace{1mm} común\hspace{1mm}x\\[0.2cm] & \Rightarrow & x=\displaystyle\frac{2+3y}{y-1}\\[0.2cm] \end{eqnarray*}

2. Determinar donde la última ecuación está definida.
   La ecuación está definida si el denominador es distinto de cero
   \[y-1=0\Rightarrow y=1\] Luego \(Rango(f)=\mathbb{R}-\{1\}=(-\infty,1) \cup (1,+\infty)\)

• Corte con los ejes coordenados:
  

1. Corte con el eje \(x\)(\(y=0\)) \begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] y=\displaystyle\frac{x+2}{x-3} & \Rightarrow & 0=\displaystyle\frac{x+2}{x-3} \\[0.2cm] & \Rightarrow & x+2=0 \\[0.2cm] & \Rightarrow & x=-2 \\[0.2cm] \end{eqnarray*} Obtenemos el punto (-2,0).
   
2. Corte con el eje \(y\)(\(x=0\))

\begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] y=\displaystyle\frac{x+2}{x-3}& \Rightarrow & y=\displaystyle\frac{2}{-3} \hspace{1mm}\\[0.2cm] \end{eqnarray*}

Obtenemos el punto \(\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\)

                                         Gráfica

Determinar el dominio , rango y realizar la gráfica de:
\[f(x)=-x^2+5x-4\]

                                        Solución

• Cálculo del dominio: Una función polinomica está definida en todo su dominio, por tanto \(Dom(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)\).

• Cálculo del rango:
  
  1. Despejar \(x\)

\begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] y=-x^2+5x-4 & \Rightarrow & -y=x^2-5x-4 \hspace{1mm}Mult. -1 \\[0.2cm] & \Rightarrow & -y=\underbrace{x^2-5x+{ \left(\frac { 5 }{ 2 } \right) }^{ 2 }}_{Trinomio \hspace{1mm}cuadrado\hspace{1mm} perfecto}-{ \left(\frac { 5 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-4 \hspace{2mm} Completando \hspace{1mm}cuadrado\\[0.2cm] & \Rightarrow & -y= \left(x-\frac { 5 }{ 2 } \right )^{ 2 } -\frac { 9 }{ 4 } \\[0.2cm] & \Rightarrow & -y+ \frac { 9 }{ 4 }=\left(x-\frac { 5 }{ 2 }\right)^{ 2 } \hspace{2mm}Vértice \hspace{1mm} (\frac { 5 }{ 2 },\frac { 9 }{ 4 })\\[0.2cm] & \Rightarrow & \sqrt{-y+\frac { 9 }{ 4 } } =x-\frac { 5 }{ 2 } \\[0.2cm] & \Rightarrow & \sqrt{-y+\frac { 9 }{ 4 } }+\frac { 5 }{ 2 } =x \\[0.2cm] \end{eqnarray*}

2. Determinar donde la última ecuación está definida.\ La ecuación está definida si la cantidad subradical es mayor o igual que cero
   \[-y+\frac { 9 }{ 4 } \geq 0\Rightarrow y\leq \frac { 9 }{ 4 }\] Luego \(Rango(f)=(-\infty,\frac { 9 }{ 4 })\)

• Corte con los ejes coordenados:
  Ejercicio!!!

                                                  Gráfica

No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son aún mayores.-Albert Einstein.

Determinar el dominio, rango, determinar puntos de cortes y verificar si esta es la gráfica de: