PCA
Anonymous_R
25 de marzo de 2017
1. Análisis de matrices aleatorias simuladas:
Generación de las matrices:
xu <- matrix( runif( 57*6 ), ncol = 6 ) # Uniforme
xn <- matrix( rnorm( 57*6 ), ncol = 6 ) # NormalVisualización de los datos mediante histogramas para comprobar que siguen las distribuciones propuestas:
hist(xu)
hist(xn)
Empleo de la función PCA para analizar ambas matrices:
library(FactoMineR)## Warning: package 'FactoMineR' was built under R version 3.3.3pca_xu <- PCA(xu)
pca_xn <- PCA(xn)
c(pca_xu$eig[c(1,2),2], pca_xn$eig[c(1,2),2])## [1] 23.07361 19.84746 23.91726 19.97852- ¿Cuánta varianza esperas que explique cada eje?
En el caso de la distribución uniforme, espero la varianza se reparta de forma casi equitativa entre las 6 dimensiones existentes. Dado que las dos primeras componentes (representadas en los ejes x e y) explican siempre más varianza que las siguientes espero que la varianza de cada eje sea ligeramente superior al 17%.
- ¿Cuánto explican en tu simulación?
Un 25.8% y un 18.9% en el caso de los datos generados siguiendo una distribución uniforme, y un 22.1% y 20.2% en el caso de los datos generados siguiendo una distribución normal (en una de ellas, cada vez que ejecuto o genero un nuevo fichero .html a partir del .Rmd varía, obviamente).
- ¿Cuánto varían en las distintas simulaciones realizadas?
simulations <- matrix(ncol=4, nrow = 20)
colnames(simulations) <- c("Dim1 xu", "Dim2 xu ", "Dim1 xn", "Dim2 xn")
for(n in 1:20){
xu <- matrix( runif( 57*6 ), ncol = 6 )
xn <- matrix( rnorm( 57*6 ), ncol = 6 )
pca_xu <- PCA(xu, graph = F)
pca_xn <- PCA(xn, graph = F)
simulations[n, ] <- c(pca_xu$eig[c(1,2),2], pca_xn$eig[c(1,2),2])
}
summary(simulations)## Dim1 xu Dim2 xu Dim1 xn Dim2 xn
## Min. :21.23 Min. :18.79 Min. :21.51 Min. :18.37
## 1st Qu.:22.50 1st Qu.:20.00 1st Qu.:23.78 1st Qu.:19.96
## Median :23.70 Median :20.45 Median :24.93 Median :20.54
## Mean :24.12 Mean :20.41 Mean :24.87 Mean :20.56
## 3rd Qu.:25.55 3rd Qu.:20.88 3rd Qu.:26.35 3rd Qu.:21.07
## Max. :28.06 Max. :21.86 Max. :27.79 Max. :23.11La tabla resumen incluye la información relativa a la varianza explicada por cada una de las dos dimensiones (Dim1 y Dim2) en los PCAs aplicados a conjuntos de datos con una distribución normal (xn) o uniforme (xu) generados en 20 simulaciones diferentes.
Dim1 está en torno a 24 y Dim2 en torno a 20. Dim1 oscila entre el 28,7% y el 19.8%, mientras que Dim2 oscila entre el 23% y el 17.7%.
- ¿Cabría esperar unos resultados muy diferentes al considerar distintas distribuciones en las variables?
No parece, el algoritmo de análisis de componentes principales es muy robusto y las cada componente explica un porcentaje de la variable muy similar aunque se use una distribución diferente.
- ¿Son muy distintos los resultados para las matrices simuladas con variables uniformes y las que se simulan con variables normales ?
Como puede observarse, no hay una diferencia grande en las varianzas explicadas por ambas dimensiones sigan los datos una distribución uniforme o una distribución normal.
2. Análisis de la matriz http://gauss.inf.um.es/datos/mundodes.dat que contiene datos demográficoeconómicos de 91 países de todo el mundo.
- Utiliza la función read.table para cargar los datos.
df <- read.table("http://gauss.inf.um.es/datos/mundodes.dat", sep = " ", dec = ".", header = T)
head(df)## TN1000 TM1000 MortInfan EspHom EspMuj PNBpCapita
## 1 24.7 5.7 30.8 69.6 75.5 600
## 2 12.5 11.9 14.4 68.3 74.7 2250
## 3 13.4 11.7 11.3 71.8 77.7 2980
## 4 11.6 13.4 14.8 65.4 73.8 2780
## 5 14.3 10.2 16.0 67.2 75.7 1690
## 6 13.6 10.7 26.9 66.5 72.4 1640- Realiza un PCA con todas las variables. Utiliza preferiblemente el paquete FactomineR
pca_df <- PCA(df)
- ¿Que porcentaje de la varianza acumula la primera componente?
Un 78.80%
- ¿Cuántas dimensiones crees que serían necesarias para explicar razonablemente bien nuestros datos?
pca_df$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## comp 1 4.72777908 78.7963180 78.79632
## comp 2 0.72609661 12.1016101 90.89793
## comp 3 0.36095040 6.0158401 96.91377
## comp 4 0.11730278 1.9550464 98.86881
## comp 5 0.05404608 0.9007680 99.76958
## comp 6 0.01382505 0.2304174 100.00000Con una dimensión ya se explica en 78.80% de la varianza, por lo que pueda explicar razonablemente bien los datos. Si se quiere más resolución se pueden usar hasta 3, pero intentar interpretarlo con más de tres dimensiones parece innecesario.
- Indica cuál es la variable que más contribuye a la primera componente.
pca_df$var$contrib## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## TN1000 17.33296 3.8220714 26.35018334 46.6081523 5.4365186
## TM1000 11.65406 46.2692307 27.49758748 9.4351010 5.0494719
## MortInfan 19.35324 0.2696861 4.94867380 39.9654582 33.3606115
## EspHom 20.42687 0.7282982 0.08274044 1.2963121 40.8876499
## EspMuj 20.59995 0.1172287 1.69969008 2.5403662 14.2684003
## PNBpCapita 10.63292 48.7934849 39.42112486 0.1546101 0.9973478EspMuj (esperanza de vida para las mujeres) es la variable que más contribuye a la primera componente (20.59995% de la Dim 1). Aunque otras variables influyen en un nivel muy similar.
- ¿Qué variable contribuye, justificadamente, más a la primera componente TN1000 o PNBpCapita?
Claramente TN1000 contribuye más a la primera componente (17.33296%) que PNBpCapita (10.63292%). Sin embargo, puede observarse, que mientras que la correlación de TN1000 con la primera componente es negativa, la de PNBpCapita es positiva.
- Representa gráficamente los resultados.
PCA(df)
## **Results for the Principal Component Analysis (PCA)**
## The analysis was performed on 91 individuals, described by 6 variables
## *The results are available in the following objects:
##
## name description
## 1 "$eig" "eigenvalues"
## 2 "$var" "results for the variables"
## 3 "$var$coord" "coord. for the variables"
## 4 "$var$cor" "correlations variables - dimensions"
## 5 "$var$cos2" "cos2 for the variables"
## 6 "$var$contrib" "contributions of the variables"
## 7 "$ind" "results for the individuals"
## 8 "$ind$coord" "coord. for the individuals"
## 9 "$ind$cos2" "cos2 for the individuals"
## 10 "$ind$contrib" "contributions of the individuals"
## 11 "$call" "summary statistics"
## 12 "$call$centre" "mean of the variables"
## 13 "$call$ecart.type" "standard error of the variables"
## 14 "$call$row.w" "weights for the individuals"
## 15 "$call$col.w" "weights for the variables"- Interpretación de los resultados:
- Posible explicación al primer eje:
El primer eje podría medir el grado de desarrollo de un país. La relación con la esperanza de vida y el PIB per cápita sería directa, es decir, indicarían un mayor desarrollo, mientras que la relación con las tasas de natalidad y mortalidad (incluyendo la infantil) sería inversa (a mayor desarrollo menor natalidad y mortalidad).
- ¿Qué países estarían más a la izquierda de éste?
Los países menos desarrollados. Como sabemos, un país del tercer mundo (con un PIB per cápita pequeño) generalmente posee esperanzas de vida bajas y tasa de mortalidad infantil elevada debido a condiciones de higiene y sanidad malas, esto está directamente relacionado con una tasa de mortalidad general mayor. Como consecuencia, es necesario que la tasa de natalidad sea elevada para que la población crezca o se mantenga.
- ¿Que tipo de países se encontrarán en el cuadrante superior derecho del gráfico?
Los países más ricos, con bajas tasas de mortalidad y natalidad pero una población envejecida.
- Intenta situar gráficamente a España sobre el gráfico de individuos. ¿Concuerda su situación con la interpretación?
plot.PCA( pca_df, choix = "ind" )
#Si España es el punto 34 para hallar sus coordenadas exactas:
x <- pca_df$ind$coord[34,1]
y <- pca_df$ind$coord[34,2]
points(x, y, pch = 20, cex = 2, col = "blue")
El resultado concuerda completamente con la interpretación: España es un país desarrollado y por tanto se encuentra en el cuadrante superior derecho.