Sean \(f\) y \(g\) funciones con dominios \(A\) y \(B\) respectivamente. Entonces las funciones \(f+g\), \(f-g\), \(fg\) y \(f/g\) están definidas como sigue.

  1. \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\hspace{5mm} \hspace{2mm}Dominio \hspace{2mm} A\cap B\)
  2. \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\hspace{4mm} \hspace{2mm}Dominio \hspace{2mm} A\cap B\)
  3. \((fg)(x)=f(x)g(x)\hspace{14mm} \hspace{2mm}Dominio \hspace{2mm} A\cap B\)
  4. \(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\hspace{14mm} \hspace{2mm}Dominio \hspace{2mm}\{x: \in A\cap B:g(x)\neq 0\}\)

Ejemplo: Encuentre \(f+g\), \(f-g\), \(fg\) y \(f/g\) y sus dominios.

\(f(x)=\sqrt{9-x^2},\; g(x)=\sqrt{x^2-4}\)

                                           Solución

En primer lugar, determinemos el dominio de \(f\) y el dominio de \(g\).

\(Dom(f)=\{x:9-x^2\geq 0\}=\{x: (3-x)(3+x)\geq 0\}\)

Un producto de dos términos es positivo si ambos términos son positivos o si ambos términos son negativos.
Caso 1: Ambos términos positivos. \begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] 3-x\geq 0 \;y\; 3+x\geq 0 & \Rightarrow & 3\geq x \;\hspace{2mm}y\hspace{2mm}\; x\geq -3 \\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in \left((-\infty,3] \cap [-3,\infty)\right)\\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in [-3,3]\\[0.2cm] S_1=[-3,3] \end{eqnarray*} Caso 2: Ambos términos negativos
\begin{eqnarray*} 3-x\leq 0 \;y\; 3+x\leq 0 & \Rightarrow & 3\leq x \;\hspace{2mm}y\hspace{2mm}\; x\leq -3 \\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in \left([3,\infty) \cap (-\infty,3]\right)\\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in [-3,3]\\[0.2cm] S_2=[-3,3] \end{eqnarray*}

\(Dom(f)=S_1\cup S_2= [-3,3]\)

\(Dom(g)=\{x:x^2-4\geq 0\}=\{x: (x-2)(x+2)\geq 0\}\)\

Caso 1: Ambos términos positivos
\begin{eqnarray*} % Espacio entre filas aumentado \\[0.2cm] x-2\geq 0 \;y\; x+2\geq 0 & \Rightarrow & x\geq 2 \;\hspace{2mm}y\hspace{2mm}\; x\geq -2 \\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in \left([2,\infty) \cap [-2,\infty)\right)\\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in [2,\infty)\\[0.2cm] S_1=[2,\infty) \end{eqnarray*}

Caso 2: Ambos términos negativos
\begin{eqnarray*} x-2\leq 0 \;y\; x+2\leq 0 & \Rightarrow & x\leq 2 \;y\; x\leq -2 \\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in \left((-\infty,2] \cap (-\infty,-2]\right)\\[0.2cm] & \Rightarrow & x \in (-\infty,-2]\\[0.2cm] S_2=(-\infty,-2] \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} Dom(g)&=&S_1\cup S_2\\[0.2cm] &=& [2,\infty) \cup (-\infty,-2]\\[0.2cm] &=&(-\infty,-2]\cup [2,\infty)\\[0.2cm] \end{eqnarray*} Luego, \begin{eqnarray*} Dom(f) \cap Dom(g)&=&S_1 \cap S_2\\[0.2cm] &=&[-3,3]\cap \left((-\infty,-2]\cup [2,\infty)\right)\\[0.2cm] &=&\left([-3,3]\cap (-\infty,-2]\right) \cup \left([-3,3]\cap [2,\infty)\right)\\[0.2cm] &=& [-3,-2]\cup [2,3] \end{eqnarray*}

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{9-x^2}+\sqrt{x^2-4}\)
\(Dominio(f+g)=[-3,-2] \cup [2,3]\)

\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{9-x^2}-\sqrt{x^2-4}\)
\(Dominio(f-g)=[-3,-2] \cup [2,3]\)

\((fg)(x)=f(x)g(x)=\sqrt{9-x^2}\sqrt{x^2-4}=\sqrt{(9-x^2)(x^2-4)}\)
\(Dominio(fg)=[-3,-2] \cup [2,3]\)

\(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{9-x^2}}{\sqrt{x^2-4}}\)
\(Dominio(f/g)=([-3,-2) \cup (2,3])\)

C: