Serie04

Esercizio 3

peter.gruber@usi.ch, 2017-03-23

Sia \(X\) una variabile aleatoria. La funzione di ripartizione \(F_X:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]\) di \(X\) `{e} definita da: \[F_X(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 0 & , & x<8 \\ 0.1 & , & 8\leq x<9 \\ 0.3 & , & 9 \leq x<10 \\ 0.7 & , & 10 \leq x<11 \\ 0.9 & , & 11 \leq x<12 \\ 1 & , & x\geq 12 \end{array}\right.\]

(a) \(X\) è una variabile aleatoria discreta o continua?

E una variable discreta    

(b) Quali sono i valori possibili di \(X\)?

xVal <- c(  8,   9,  10,  11,  12)
xVal

## [1]  8  9 10 11 12

 

(c) Qual è la distribuzione di \(X\)?

cPrb <- c(0.1, 0.3, 0.7, 0.9, 1)
Prob <- diff(c(0,cPrb))
# Table output
probTable <- data.frame(xVal,Prob)
probTable

##   xVal Prob
## 1    8  0.1
## 2    9  0.2
## 3   10  0.4
## 4   11  0.2
## 5   12  0.1

Verifica veloce

sum(Prob)    # Is it 1?

## [1] 1

 

(d) Si rappresenti graficamente la distribuzione e la funzione di ripartizione di \(X\).

barplot(Prob, name=xVal)          # distribuzione

plot(xVal,cPrb,type="s")          # ripartizione

xVal2 <- c(5, xVal, 15)
cPrb2 <- c(0, cPrb, 1)
plot(xVal2,cPrb2,type="s")        # versione più bella

 

(e) Si calcolino le probabilit`{a}: \(P(X\leq 8.5)\), \(P(9<X\leq 11.5)\) e \(P(9 \leq X\leq 11.5)\).

sum(Prob[xVal<=8.5])                # P (X<=8.5)

## [1] 0.1

sum(Prob[xVal>9 & xVal<=11.5])      # P (9<X<=11.5)

## [1] 0.6

sum(Prob[xVal>=9 & xVal<=11.5])     # P (9<=X<=11.5)

## [1] 0.8

 

(f) Si dia, senza calcolare, il valore atteso \(E(X)\) di \(X\).

sum(xVal * Prob)

## [1] 10