Micro

\[ y=\frac{100}{x} \mbox{En donde se deriva de la siguiente forma} \\ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \] \[ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \\ \mbox{Se deja constante 100 y se trabaja sobre x} \\ -1x^{-1-1} = -x^{-2} \] \[ - \frac{dy}{dx} = \frac{100}{x^2} \]

Notese que mientras x sube la TMS cae

• Cuando x=5 , la TMS = 4
• Cuanod x=20, la TMS = 0.25

Suponga que la utilidad tiene la siguiente forma

\[ Utilidad = U(x,y) \]

El diferencial total de U sera: \[ dU= \frac{\varphi U}{\varphi x}dx + \frac{\varphi U}{\varphi y} dy \]

Sobre cualcier Curva de Indiferencia , la utilidad es constante

Derivando la TMS

\[ TMS = - \frac{dy}{dx} \]

\[ \left. \frac{du}{dx} \right|_{U=Constante} = \frac{\frac{\varphi U}{\varphi x}}{\frac{\varphi U}{\varphi y}} \]

• TMS es el cociente entre la utilidad marginal de x sobre la utilidad marginal de y

• Intuitivamente, pareceria que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al de la TMS decreciente

  • La TMS requiere que la funcion de utilidad sea cuasi-concava, no es importante como se mide la utilidad.
  • La utilidad marginal decreciente depende de como es medida la utilidad.

Convexidad de las curvas de indiferencia

\[ utilidad = \sqrt {xy} \]

Simplificando algebraicamente con logartimos en ambos lados se obtiene el siguiente resultado , solo recuerde que \( \sqrt{x}=x^{1/2} \)

\[ U(x,y)= \ln [U(x,y)] = \frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{2} \ln y \]

Por lo anterior

\[ TMS= \frac{\frac {\varphi U^*}{\varphi x}}{\frac {\varphi U^*}{\varphi y}}= \frac{\frac {1/2}{x}}{\frac {1/2}{y}}= \frac{y}{x} \]

Si la funcion tuviese la siguiente forma \[ U(x,y) =x+xy+y \]

Su TMS se representa con la siguiente forma

\[ TMS= \frac{\frac {\varphi U^*}{\varphi x}}{\frac {\varphi U^*}{\varphi y}} = \frac{1+y}{1+x} \]

Resuelva el siguiente ejercicio

\[ Utilidad = \sqrt {x^2+y^2} \]

\[ U(x,y)=x^\alpha y^\beta \]

Donde \( \alpha \) y \( \beta \) son constantes positivas y tiende a ser \( \sum {\alpha, \beta} =1 \)

Su productividad marginal mide el cambio en la produccion ante variaciones en la cantidad de insumos. Por lo tanto su derivada representa dichas variaciones

El tamano entre cero y uno de los parametros da la importancia de estos

\[ y=\frac{100}{x} \mbox{ En donde se deriva de la siguiente forma } \\ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \] \[ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \\ \mbox{Se deja constante 100 y se trabaja sobre x} \\ -1x^{-1-1} = -x^{-2} \] \[ - \frac{dy}{dx} = \frac{100}{x^2} \]

Notese que mientras x sube la TMS cae

• Cuando x=5 , la TMS = 4
• Cuanod x=20, la TMS = 0.25

\[ Utilidad = U(x,y)= \frac{x^\partial}{\partial} + \frac{y^\partial}{\partial} \]

Cuando \( \partial \not 0, \partial \le 1 \)

Cuando \( \partial = 0 \) se tiene que

\[ Utilidad=U(x,y)= \ln x+ lny \]

*Modificando \( \partial \) se tiene *

• Sustitutos perfectos \( \longrightarrow \partial =1 \)
• Cobb Douglas \( \longrightarrow \partial =0 \)
• Complementos perfectos \( \longrightarrow \partial -\infty \)

La elasticidad para este caso se define en la sustitucion de \( \omega \) tal que

\[ \omega= frac{\partial \ln (x/y)}{\partial \ln \frac{\partial U/ \partial y}{\partial U / \partial x}} \]

Mide los cambios proporcionales en razon a (x/y) relativo a cambios proporcionales de la TMS. En otras palabras que tan posible es cambiar x por y

• \( \omega = \frac{1}{(1-\partial)} \) para funciones ces
• Sustitutos perfectos \( \longrightarrow \omega = \infty \)
• Proporciones fijas \( \longrightarrow \omega =0 \)

Preferencias Homoteticas

• Si la TMS solo depende de las relaciones o coecientes de dos bienes , pero no de las cantidades de dichos bienes, la funcion se le conoce como homotetica

• Sustituto Perfecto \( \longrightarrow TMS \mbox{Es la misma para cada punto} \)

• Complementos perfectos \( \longrightarrow TMS = \infty , \mbox {si } \frac{x}{y} > \frac{\alpha}{\betha} \)

Preferencias Homoteticas

*Cobb - Douglas, la TMS es

\[ TMS= \frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y} = \frac{ \alpha x^{\alpha - 1} y^\beta}{\beta x^\alpha y^{\beta -1}}= \frac{\alpha}{\beta} \frac{y}{x} \]

Preferencias no Homoteticas

\[ Utilidad =U(x,y)=x+ln y \\ TMS= \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}= \frac{1}{1/y}=y \]