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Se despeja y mediante la siguiente operacion

\[ 10^2= \sqrt {xy}^2 \] \[ y= \frac{100}{x} \]

Construyendo la TMS donde \( - \frac{dy}{dx} \) \[ TMS= - \frac{dy}{dx} = \frac{100}{x^2} \]

\[ y=\frac{100}{x} \mbox{En donde se deriva de la siguiente forma} \\ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \] \[ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \\ \mbox{Se deja constante 100 y se trabaja sobre x} \\ -1x^{-1-1} = -x^{-2} \] \[ - \frac{dy}{dx} = \frac{100}{x^2} \]

Notese que mientras x sube la TMS cae

  • Cuando x=5 , la TMS = 4
  • Cuanod x=20, la TMS = 0.25

Suponga que la utilidad tiene la siguiente forma

\[ Utilidad = U(x,y) \]

El diferencial total de U sera: \[ dU= \frac{\varphi U}{\varphi x}dx + \frac{\varphi U}{\varphi y} dy \]

Sobre cualcier Curva de Indiferencia , la utilidad es constante

Derivando la TMS

\[ TMS = - \frac{dy}{dx} \]

\[ \left. \frac{du}{dx} \right|_{U=Constante} = \frac{\frac{\varphi U}{\varphi x}}{\frac{\varphi U}{\varphi y}} \]

  • TMS es el cociente entre la utilidad marginal de x sobre la utilidad marginal de y

  • Intuitivamente, pareceria que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al de la TMS decreciente

    • La TMS requiere que la funcion de utilidad sea cuasi-concava, no es importante como se mide la utilidad.
    • La utilidad marginal decreciente depende de como es medida la utilidad.

Convexidad de las curvas de indiferencia

\[ utilidad = \sqrt {xy} \]

Simplificando algebraicamente con logartimos en ambos lados se obtiene el siguiente resultado , solo recuerde que \( \sqrt{x}=x^{1/2} \)

\[ U(x,y)= \ln [U(x,y)] = \frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{2} \ln y \]

Por lo anterior

\[ TMS= \frac{\frac {\varphi U^*}{\varphi x}}{\frac {\varphi U^*}{\varphi y}}= \frac{\frac {1/2}{x}}{\frac {1/2}{y}}= \frac{y}{x} \]

Si la funcion tuviese la siguiente forma \[ U(x,y) =x+xy+y \]

Su TMS se representa con la siguiente forma

\[ TMS= \frac{\frac {\varphi U^*}{\varphi x}}{\frac {\varphi U^*}{\varphi y}} = \frac{1+y}{1+x} \]

Resuelva el siguiente ejercicio

\[ Utilidad = \sqrt {x^2+y^2} \]

Funcion Cobb Douglas

La funcion Cobb Douglas es una funcion de produccion , que relaciona un producto y las variaciones entre los insumos de tecnologia, capital y trabajo

\[ U(x,y)=x^\alpha y^\beta \]

Donde \( \alpha \) y \( \beta \) son constantes positivas y tiende a ser \( \sum {\alpha, \beta} =1 \)

Su productividad marginal mide el cambio en la produccion ante variaciones en la cantidad de insumos. Por lo tanto su derivada representa dichas variaciones

El tamano entre cero y uno de los parametros da la importancia de estos

\[ y=\frac{100}{x} \mbox{ En donde se deriva de la siguiente forma } \\ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \] \[ \Delta y= lim_{h \rightarrow 0} = 100 x^{-1} \\ \mbox{Se deja constante 100 y se trabaja sobre x} \\ -1x^{-1-1} = -x^{-2} \] \[ - \frac{dy}{dx} = \frac{100}{x^2} \]

Notese que mientras x sube la TMS cae

  • Cuando x=5 , la TMS = 4
  • Cuanod x=20, la TMS = 0.25