Matematikk i R

Oppgaver fra Eksamen i BED-1007 Matematikk for økonomer, 8. desember 2016.

Oppgave 2b)

Etterspørselen \(x\) etter en vare er en funksjon av varens pris \(p\), gitt ved: \[x(p)=\frac{4000}{e^{2p}}\]

Vi lager først et plot av denne funksjonen:

suppressPackageStartupMessages(require(mosaic))
plotFun(4000/exp(2*x)~x, x.lim = range(0,5), main="Etterspørselsmodell")

1. Hvor stor er etterspørselen når varens pris er 40 kr?

Lager en funksjon \(f(x)\):

f <- makeFun(4000/exp(2*x)~x)
f(40)

[1] 7.219406e-32

2. Hvor høy må prisen være dersom etterspørselen skal være 1000 enheter?

Lager et plot av løsningen først (der funksjonen krysser y=0 aksen).

plotFun(4000/exp(2*x)-1000~x, x.lim = range(0,5), main="Finn pris for etterspørsel=1000")

ladd(panel.abline(a=0, b=0, col="red"))

findZeros(4000/exp(2*x)-1000 ~ x)

       x
1 0.6931

3. Finn et uttrykk for inntektsfunksjonen og grenseinntektsfunksjonen.

Inntektsfunksjonen er \(p \times x(p)\).

plotFun(x*4000/exp(2*x)~x, x.lim = range(0,5), main="Inntektsfunksjonen")

Grenseinntekstfunksjonen er den deriverte av inntektsfunksjonen.

D(x*(4000/exp(2*x))~x)

function (x) 
(4000/exp(2 * x)) - x * (4000 * (exp(2 * x) * 2)/exp(2 * x)^2)

4. Ved hvilken pris oppnår man inntektsmaksimum, hvor stor er inntekten da?

Optimal pris for grenseinntekt=0

findZeros((4000/exp(2 * x)) - x * (4000 * (exp(2 * x) * 2)/exp(2 * x)^2) ~ x, x.lim=range(0,2))

    x
1 0.5

Inntektsfunksjon \(g(x)\):

g <- makeFun(x*4000/exp(2*x)~x)
g(0.5)

[1] 735.7589

Plot av optimal inntekt, gitt pris=0.5.

plotFun(x*4000/exp(2*x)~x, x.lim = range(0,1), main="Optimal inntekt ved pris=0.5")

ladd(panel.abline(a=735.7589, b=0, col="red"))

ladd(panel.abline(v=0.5, col="red"))