Introdução

Esta nota técnica tem como objetivo apresentar o cálculo da integral de uma função de Distribuição Normal (\(\mu, \sigma^2\)) por meio do método geométrico, o qual consiste na inserção de \(n\) retângulos na área abaixo da curva e acima do eixo das ordenadas e entre limites superiores e inferiores pré-definidos (figura 1).

Figura 1

Figura 1: Método geométrico para o cálculo da integral

Para a aplicação do método geométrico, e posterior comparação com a função pnorm do R Statistics, será considerado que \(\mu=100\) e \(\sigma=30\). Além disso, a aplicação considerará três limites inferiores (\(a\)) e superiores (\(b\)) distintos:

Método geométrico no R Statistics

Sabe-se que a área de um retângulo é dada pela multiplicação entre a base e a altura do mesmo. A base de cada retângulo será definida por \(\Delta =\frac{b-a}{n}\), onde b e a são o limite superior e o inferior, respectivamente, e n é a quantidade de retângulos. A altura, por sua vez, corresponde à própria função de densidade de probabilidade, apresentada abaixo:

\[f(x)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})e^{\frac {-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^2}}\]

Com essas informações é possível definir uma função para a soma da área dos retângulos no R, conforme o script:

dnintegral<- function (a,b,mu,sigma,n){
  x<-seq(a,b,length.out=n)
  z<-(x-mu)/sigma
  area<-((b-a)/n)*(1/(sqrt(2*pi)*sigma))*exp(-0.5*(z^2))
  int<-sum(area)
  int
}

A função dnintegral, definida no R, corresponderá à integral da função de distribuição normal. Isso pode ser verificado ao comparar o valor de dnintegral com o valor da função pnorm para os seguintes casos:

dnintegral(35,72,100,30,10000000)
## [1] 0.1601938
pnorm(72,100,30)-pnorm(35,100,30)
## [1] 0.1601938
dnintegral(-1000000,10,100,30,10000000)
## [1] 0.001357297
pnorm(10,100,30)-pnorm(-1000000,100,30)
## [1] 0.001349898
dnintegral(200,1000000,100,30,10000000)
## [1] 0.000431635
pnorm(100000,100,30)-pnorm(200,100,30)
## [1] 0.0004290603

Observa-se que ao usar n=10000000 os valores da dnintegral e da pnorm se aproximam nas 4 primeiras casas decimais.