Obtenção do limite superior para \(\pi\) por geometria básica
Beatriz Ferreira
23 de fevereiro de 2017
Introdução
Esta nota técnica apresenta a obtenção de limite inferior para \(\pi\) a partir de polígonos regulares circunscritos em um círculo de raio 1. Este método geométrico, introduzido por Arquimedes (287-212 AC), permite o cálculo de limites inferiores para \(\pi\) (com polígonos inscritos no círculo) e de limites superiores (com polígonos circunscritos).
Para o limite superior, parte-se da duas definições iniciais:
- Definição de \(\pi\): \(\pi=\frac{P_{c}}{d_{c}}\), em que \(P_{c}\) é o perímetro da circunferência e \(d_{c}\) é o diâmetro da mesma
- Definição de perímetro da circunferência: \(P_{c}=2\pi r_{c}=\pi d_{c}\), em que \(r_{c}\) é o raio da mesma.
Se a circunferência tiver diâmetro igual a 2, tem-se claramente que \(P_{c}=2\pi\). Então, basta encontrar o perímetro da circunferência de diâmetro 2 e dividi-la por 2 para que se chegue ao valor de \(\pi\). Para encontrar este perímetro, circunscrevem-se polígonos na circunferência sucessivamente, com quantidade de lados cada vez maior. Claramente, quanto maior a quantidade de lados, mais próximo o perímetro do polígono será do perímetro da circunferência - e, consequentemente, do valor de \(\pi\).
Com efeito, a presente nota técnica inicia derivando o limite superior de \(\pi\) com um hexágono regular e, a partir de um dodecágono regular, deriva uma fórmula que seja válida para quaisquer polígonos regulares de \(n\) lados. A fórmula derivada é inserida no programa estatístico R para que o perímetro do polígono seja encontrado por recursão, de forma a encontrar um polígono que seja idêntico a \(\pi\) nas 20 primeiras casas decimais.
Limite superior para \(\pi\) por hexágono circunscrito em circunferência
A Figura 1 é a represednação de um polígono regular de 6 lados (hexágono) circunscrito em uma circunferência de diâmetro 2 - e, portanto, raio 1. Claramente, o perímetro da circunferência (\(P_{c}\)) é menor que o perímetro do hexágono (\(P_{h}\)).
Fig 1: Hexágono circunscrito em círculo
O perímetro da circunferência é, segundo a definição 2, \(P_{c}=2\pi r_{c}=2 \pi\). Basta encontrarmos o perímetro do hexágono e dividirmos por 2 para termos o limite superior de \(\pi\).
Para isso, é válido notar que o hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. Um destes triângulos é \(DOC\). Como se trata de um triângulo equilátero, \(q=d=\overline{DC}\). Traçando uma bissetriz no ângulo \(C\widehat{O}D\), obtêm-se 2 triângulos retângulos, \(\Delta COH\) e \(\Delta HOD\), aos quais pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras. Aplicando o Teorema no \(\Delta COH\):
\[L_{1}^{2}=h^{2}+r^{2}\]
Mas como \(\overline{OH}\) é bissetriz do ângulo \(C\widehat{O}D\), então \(h=\frac{L_{1}}{2}\):
\[\left (\frac{L_{1}}{2} \right)^{2}+ r^{2}=L_{1}^{2}\]
\[\frac{L_{1}^{2}+4r^{2}}{4}=\frac{4L_{1}^{2}}{4}\]
\[3L_{1}^{2}=4r^{2}\]
\[L_{1}^{2}=\frac{4r^{2}}{3}\]
\[L_{1}=\frac{2r}{\sqrt{3}}\]
Como \(r=1\):
\[L_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\]Tem-se, então, que o lado do hexágono é igual a \(L_{1}\). Multiplicando esse valor por 6, chega-se a \(P_{h}\):
\[P_{h}=6 \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}\]
Racionalizando:
\[P_{h}=4 \sqrt{3}\]
Agora basta dividir o perímetro do hexágono por 2, que encontra-se o limite superior para o valor de \(\pi\):
\[\pi<2 \sqrt{3}\]
Equação genérica para o cálculo do limite superior de \(\pi\) para um polígono regular de \(n\) lados
A Figura 2 é a representação de dois polígonos circunscritos em uma circunferência de raio 1: um hexágono e um dodecágono. Notavelmente, o perímetro do dodecágono (\(P_{d}\)) é mais próximo do perímetro da circunferência (\(P_{c}\)) que o perímetro do hexágono (\(P_{h}\)).
Fig 2: Dodecágono e hexágono circunscritos em círculo
Percebe-se que o segmento \(L_{1}\) é o lado do hexágono, anteriormente calculado. \(L_{2}\) é o lado do dodecágono e \(L{3}\), o valor que será calculado, é o lado do tetracoságono.
Consideremos o triângulo retângulo CGE. Ao mesmo, pode ser aplicado o Teorema de Pitágoras, considerando que o segmento \(\overline{GC}\) pode ser escrito como \(\overline{GC}=r+p\).
\[\left ( r+p \right )^{2}=r^{2}+L_{2}^{2}\]
\[\sqrt { \left ( r+p \right )^{2}}= \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}\]
\[p=\sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}-r\]Ao traçar uma bissetriz no ângulo \(C\widehat{G}E\), obtém-se o segmento \(\overline{GD}\). Claramente, temos dois triângulos retângulos semelhantes (\(\Delta{FGD}\), \(\Delta{DGE}\)). Sendo assim, tem-se que \(\overline{ED}=\overline{DF}=L_{3}\).
Considerando outro triângulo retângulo, \(\Delta{CFD}\), e aplicando o Teorema de Pitágoras, obtém-se:
\[\left (L_2-L_3 \right)^{2}=p^{2}+{L_{3}^{2}}\]
\[L_{2}^{2}-2L_2L_3+L_{3}^{2}=p^{2}+L_{3}^{2}\]
\[p^{2}=L_{2}^{2}-2L_2L_3\]
Substituindo a expressão encontrada para \(p\) anteriormente:
\[\left ( \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}-r \right )^{2} = L_{2}^{2}-2L_{2}L_{3}\]
\[r^{2}+L_{2}^{2}-2r \sqrt {r^{2}+L_{2}^{2}}+r^{2}=L_{2}^{2}-2L_{2}L_{3}\]
\[2r^{2}-2r \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}=-2L_{2}L_{3}\] Dividindo todos os termos por \(-2L_{2}\):
\[\frac{2L_{2}L_{3}}{2L_{2}} = -\frac{2r^{2}}{2L_{2}} + \frac{2r}{2L_{2}} \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}\]
\[L_{3}=- \frac{r^{2}}{L_{2}}+\frac{r}{L_{2}} \sqrt{r^{2}+L_{2}^2}\]
\[L_{3}=-\frac{r^{2}}{L_{2}}+ r \sqrt {\frac {\left ( r^{2}+L_{2}^{2} \right)}{L_{2}^{2}}}\]
\[L_{3}=-\frac{r^{2}}{L_{2}}+ r \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1}\]
Colocando \(r\) em evidência do lado direito da equação:
\[L_{3}=r \left ( -\frac{r}{L_{2}} + \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1} \right)\]
\[\frac {L_{3}}{r}=-\frac{r}{L_{2}} + \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1}\]
Como \(r=1\) para a circuferência usada para análise:
\[{L_{3}}=-\frac{1}{L_{2}}+\sqrt{\frac{1}{L_{2}^{2}}+1}\]
Tem-se, agora a equação geral para o lado dos polígonos circunscritos na circunferência. No caso do tetracoságono (com lado \(L_{3}\)), o valor \(L_{2}\) (correspondente ao lado do dodecágono) pode ser substituído por $ - que é exatamente metade do lado do hexágono calculado.É este valor que será substituído no R a fim de permitir as recursões.
Aplicação no R para um polígono de \(n\) lados
O mesmo argumento utilizado na Fig.2 para encontrar o lado do tetracoságono (polígono de 24 lados) a partir do dodecágono pode ser repetido para construção de um polígono regular que dobrasse o número de lados a cada passo.
A fórmula geral para representar o número de lados pode ser escrita por:
\[L_{t}=3*2^{t}\]
Em que \(t\) é um índice que representa a sequência de polígonos regulares circunscritos, sendo \(t=1,2,...,n\) e que \(t=1\) representaria o hexágono.
De forma geral, tem-se:
\[{L_{t+1}}=-\frac{1}{L_{t}}+\sqrt{\frac{1}{L_{t}^{2}}+1}\]
Se \(L_{t}\) e \(P_{t}\) representam o comprimento do lado do polígono e o perímetro do mesmo, respectivamente, tem-se:
\(P_{t}=3*2^{t}*L_{t}\)
A função do R que permite este cálculo é apresentada abaixo:
require(Rmpfr)require(Rmpfr)
acha_limsup<-function(n,k){
bits<-k*log2(10) #convertendo digitos em bits
s<-mpfr(1/sqrt(3),bits) # s passa a ser um número com k digitos significativos
p<-mpfr(0,bits)
novopi<-Const("pi",bits)
for(i in 1:n){
L<-3*2^mpfr(i,bits)
p<-L*s #operação propaga o número de digitos definido para p
cat(sprintf("t= %2i Lados: %12.0f Lim inf: %s dif: %s \n",i,L,format(p,35),format(p-novopi,18)))
s<-sqrt(((1/s)^2)+1)-(1/s)
}
}
acha_limsup (57, 100)## t= 1 Lados: 6 Lim inf: 3.4641016151377550524870230219676159 dif: 0.322508961547961814
## t= 2 Lados: 12 Lim inf: 3.2153903091734728518071342693903365 dif: 0.0737976555836796133
## t= 3 Lados: 24 Lim inf: 3.1596599420975008384410176847210480 dif: 0.0180672885077076000
## t= 4 Lados: 48 Lim inf: 3.1460862151314353216717998540858222 dif: 0.00449356154164208321
## t= 5 Lados: 96 Lim inf: 3.1427145996453686476170545532941767 dif: 0.00112194605557540915
## t= 6 Lados: 192 Lim inf: 3.1418730499798242209130591933817094 dif: 0.000280396390030982450
## t= 7 Lados: 384 Lim inf: 3.1416627470568488753219540262069470 dif: 7.00934670556368593e-5
## t= 8 Lados: 768 Lim inf: 3.1416101766046898878434092839115044 dif: 1.75230148966493808e-5
## t= 9 Lados: 1536 Lim inf: 3.1415970343215265010687769290722094 dif: 4.38073173326260613e-6
## t= 10 Lados: 3072 Lim inf: 3.1415937487713523770504439590952491 dif: 1.09518155913858780e-6
## t= 11 Lados: 6144 Lim inf: 3.1415929273850973826221973205337849 dif: 2.73795304144159554e-7
## t= 12 Lados: 12288 Lim inf: 3.1415927220386141674169252425297176 dif: 6.84488209289542819e-8
## t= 13 Lados: 24576 Lim inf: 3.1415926707019983969511217089207982 dif: 1.71122051584884783e-8
## t= 14 Lados: 49152 Lim inf: 3.1415926578678447689181077096044059 dif: 4.27805153045546433e-9
## t= 15 Lados: 98304 Lim inf: 3.1415926546593063815713185029794390 dif: 1.06951314310867512e-9
## t= 16 Lados: 196608 Lim inf: 3.1415926538571717859634627116476551 dif: 2.67378547500819328e-10
## t= 17 Lados: 393216 Lim inf: 3.1415926536566381371383013580849752 dif: 6.68448986756579748e-11
## t= 18 Lados: 786432 Lim inf: 3.1415926536065047249368111818342436 dif: 1.67114864741677986e-11
## t= 19 Lados: 1572864 Lim inf: 3.1415926535939713718867386479052763 dif: 4.17813342409526463e-12
## t= 20 Lados: 3145728 Lim inf: 3.1415926535908380336242392650563912 dif: 1.04479516159588178e-12
## t= 21 Lados: 6291456 Lim inf: 3.1415926535900546990586155912587547 dif: 2.61460595972207979e-13
## t= 22 Lados: 12582912 Lim inf: 3.1415926535898588654172097460540072 dif: 6.56269545663627745e-14
## t= 23 Lados: 25165824 Lim inf: 3.1415926535898099070068582893306116 dif: 1.66685442149060511e-14
## t= 24 Lados: 50331648 Lim inf: 3.1415926535897976674042704254358747 dif: 4.42894162704215637e-15
## t= 25 Lados: 100663296 Lim inf: 3.1415926535897946075036234594800725 dif: 1.36904098007620057e-15
## t= 26 Lados: 201326592 Lim inf: 3.1415926535897938425284617179922395 dif: 6.04065818334712737e-16
## t= 27 Lados: 402653184 Lim inf: 3.1415926535897936512846712826203511 dif: 4.12822027899340848e-16
## t= 28 Lados: 805306368 Lim inf: 3.1415926535897936034737236737773834 dif: 3.65011080290497881e-16
## t= 29 Lados: 1610612736 Lim inf: 3.1415926535897935915209867715666418 dif: 3.53058343388287139e-16
## t= 30 Lados: 3221225472 Lim inf: 3.1415926535897935885328025460139564 dif: 3.50070159162734453e-16
## t= 31 Lados: 6442450944 Lim inf: 3.1415926535897935877857564896257850 dif: 3.49323113106346282e-16
## t= 32 Lados: 12884901888 Lim inf: 3.1415926535897935875989949755287422 dif: 3.49136351592249239e-16
## t= 33 Lados: 25769803776 Lim inf: 3.1415926535897935875523045970044815 dif: 3.49089661213724979e-16
## t= 34 Lados: 51539607552 Lim inf: 3.1415926535897935875406320023734163 dif: 3.49077988619093913e-16
## t= 35 Lados: 103079215104 Lim inf: 3.1415926535897935875377138537156500 dif: 3.49075070470436147e-16
## t= 36 Lados: 206158430208 Lim inf: 3.1415926535897935875369843165512084 dif: 3.49074340933271706e-16
## t= 37 Lados: 412316860416 Lim inf: 3.1415926535897935875368019322600980 dif: 3.49074158548980595e-16
## t= 38 Lados: 824633720832 Lim inf: 3.1415926535897935875367563361873204 dif: 3.49074112952907818e-16
## t= 39 Lados: 1649267441664 Lim inf: 3.1415926535897935875367449371691260 dif: 3.49074101553889623e-16
## t= 40 Lados: 3298534883328 Lim inf: 3.1415926535897935875367420874145774 dif: 3.49074098704135075e-16
## t= 41 Lados: 6597069766656 Lim inf: 3.1415926535897935875367413749759403 dif: 3.49074097991696437e-16
## t= 42 Lados: 13194139533312 Lim inf: 3.1415926535897935875367411968662810 dif: 3.49074097813586778e-16
## t= 43 Lados: 26388279066624 Lim inf: 3.1415926535897935875367411523388662 dif: 3.49074097769059363e-16
## t= 44 Lados: 52776558133248 Lim inf: 3.1415926535897935875367411412070125 dif: 3.49074097757927510e-16
## t= 45 Lados: 105553116266496 Lim inf: 3.1415926535897935875367411384240490 dif: 3.49074097755144546e-16
## t= 46 Lados: 211106232532992 Lim inf: 3.1415926535897935875367411377283082 dif: 3.49074097754448805e-16
## t= 47 Lados: 422212465065984 Lim inf: 3.1415926535897935875367411375543730 dif: 3.49074097754274870e-16
## t= 48 Lados: 844424930131968 Lim inf: 3.1415926535897935875367411375108892 dif: 3.49074097754231386e-16
## t= 49 Lados: 1688849860263936 Lim inf: 3.1415926535897935875367411375000182 dif: 3.49074097754220515e-16
## t= 50 Lados: 3377699720527872 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374973005 dif: 3.49074097754217798e-16
## t= 51 Lados: 6755399441055744 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374966210 dif: 3.49074097754217118e-16
## t= 52 Lados: 13510798882111488 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374964512 dif: 3.49074097754216948e-16
## t= 53 Lados: 27021597764222976 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374964087 dif: 3.49074097754216906e-16
## t= 54 Lados: 54043195528445952 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374963981 dif: 3.49074097754216895e-16
## t= 55 Lados: 108086391056891904 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374963954 dif: 3.49074097754216893e-16
## t= 56 Lados: 216172782113783808 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374963948 dif: 3.49074097754216892e-16
## t= 57 Lados: 432345564227567616 Lim inf: 3.1415926535897935875367411374963946 dif: 3.49074097754216892e-16