Dada una variable aleatoria \(X\) con distribución \(Hg(n, r, N)\), si se tiene que \(p(r/N)\), con \(0 < p < 1\) cuando \(r\), \(N\) \(\longrightarrow\) \(\infty\), entonces, la función de densidad de \(X\) tiende a la función de densidad de una distribución \(Bin(n,p)\). Demuestre que este enunciado es verdadero mediante simulación.

Solución
Si \(X\sim B(n , p)\), entonces su \(fp\) está dada por
\[ P(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\]

y la \(fp\) cuando \(X \sim Hg(n,r,N)\) está dada por \[ P(x)=\frac{\binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} \]

x entero entre \(máx(0, n-N+r)\) y \(mín(r,n)\) Donde.
N= Número de elementos de la población
r=Número de elementos con la característica específca
n = tamaño de la muestra

x = function(n, r, N) {
    return(c(max(0, n - N + r):min(n, r)))  # secuencia de enteros 
}

Hg = function(n, r, N) {
    x = x(n, r, N)  # secuencia de enteros 
    res = numeric(length(x))  # Crea o coacciona un objeto de clase numerico
    for (i in 1:length(x)) {
        res[i] = choose(r, x[i]) * choose(N - r, n - x[i])/choose(N, n)
    }  # pone las probab. calc. con la fp de la Hg en la posición i 
    return(res)
    
}

par(mfrow = c(1, 2))
plot(Hg(30, 20, 50), type = "h", main = "Hg(30,20,50)", ylab = "f(x)")
lines(dbinom(x(30, 20, 50), 30, 20/50), col = 2)
plot(Hg(30, 50, 80), type = "h", main = "Hg(30,50,80)", ylab = "f(x)")
lines(dbinom(x(30, 50, 80), 30, 50/80), col = 2)

par(mfrow = c(1, 2))
plot(Hg(30, 100, 200), type = "h", main = "Hg(30,100,200)", ylab = "f(x)")
lines(dbinom(x(30, 100, 200), 30, 100/200), col = 2)
plot(Hg(30, 300, 1000), type = "h", main = "Hg(30,300,1000)", ylab = "f(x)")
lines(dbinom(x(30, 300, 1000), 30, 300/1000), col = 2)