Sumio Watanabe, “Algebraic Geometry and Statistical Learning Theory” p.141 に \(L^s(q)\) 空間の包含関係として、\(1 < s < s'\) に対して
\[ L^{s'}(q) \subset L^s(q) \]
が成り立つと書かれているが、証明が載っていないので証明する。
\(\mathbb{R}^N\) を \(N\)次元ユークリッド空間、\(q(x) \leq 0\) を \(\mathbb{R}^N\)上の確率密度関数とする。 このとき、実数 \(s\geq 1\) に対して
\[ \int_{\mathbb{R}^N} |f(x)|^s q(x) dx < \infty \] を満たす全ての可測関数 \(f: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{C}\) からなる集合を \(L^s(q)\) と表す。
\(L^s(q)\) は \(\mathbb{C}\)上のベクトル空間であり、ノルム
\[ \|f\|_s = \bigg\{ \int |f(x)|^s q(x)dx \bigg\}^{\frac{1}{s}} \]
を定義するとバナッハ空間となる。
\(\alpha > 0\), \(\beta > 0\) を \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1\) を満たす実数とする。このとき、任意の \(f, g \in L^s(q)\) に対して
\[ \bigg| \int f(x)g(x)q(x)dx \bigg| \leq \|f\|_\alpha \|g\|_\beta \] が成り立つ。これをヘルダーの不等式 (Hölder’s Inequality) という。 \(\alpha = \beta = 2\) のときは特に、コーシー＝シュワルツの不等式 (Cauchy–Schwarz Inequality) と呼ばれる。
任意の実数 \(s\) と \(s'\) に対して、\(1 < s < s'\) が成り立つとき、
\[ \|f\|_s \leq \|f\|_{s'} \] が成り立つ。したがって、
\[ L^{s'}(q) \subset L^s(q) \] が成り立つ。
\(\alpha = \frac{s'}{s}\), \(\beta = \frac{s'}{s'-s}\) とおく。 このとき、
\[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{s}{s'} + \frac{s'-s}{s'} = \frac{s + s' - s}{s'} = \frac{s'}{s'} = 1 \]
が成り立つ。 したがって、\(\tilde{f}(x) = |f(x)|^s\), \(\tilde{g}(x) = 1\) に対して、ヘルダーの不等式が成り立つことから、
\[ \begin{align} \bigg| \int |f(x)|^s q(x)dx \bigg| &= \bigg| \int \tilde{f}(x)\tilde{g}(x)q(x)dx \bigg| \\ &\leq \|\tilde{f}\|_\alpha \|\tilde{g}\|_\beta \\ &= \bigg\{ \int |f(x)|^{s\alpha} q(x) dx \bigg\}^{\frac{1}{\alpha}}\bigg\{ \int q(x) dx \bigg\}^{\frac{1}{\beta}} \\ &= \bigg\{ \int |f(x)|^{s\frac{s'}{s}} q(x) dx \bigg\}^{\frac{s}{s'}}\bigg\{ 1 \bigg\}^{\frac{1}{\beta}} \\ &= \bigg\{ \int |f(x)|^{s'} q(x) dx \bigg\}^{\frac{1}{s'} s} \\ &= \|f\|_{s'}^s \\ \end{align} \] したがって、
\[ \begin{align} \bigg| \int |f(x)|^s q(x)dx \bigg| &\leq \|f\|_{s'}^s \\ \bigg| \int |f(x)|^s q(x)dx \bigg|^{\frac{1}{s}} &\leq \|f\|_{s'} \\ \|f\|_{s} &\leq \|f\|_{s'} \\ \end{align} \]
が成り立つ。ゆえに
\[ L^{s'}(q) \subset L^s(q) \]
が成り立つ。