Obtenção de estimativa para \pi por geometria básica

Introdução

Esta nota técnica apresenta uma derivação de limites inferiores para \(\pi\) a partir de polígonos regulares inscritos em um círculo de raio 1. Arquimedes (287-212 AC) foi um dos pioneiros no uso desse método, considerando polígonos regulares de 96 faces. A nota discute também dificultades numéricas nos cálculos em precisão dupla, algo que limita a precisão do limite mínimo calculado.

É apresentada uma solução para o problema de precisão com a utilização de variáveis com cerca de 100 digitos significativos (em lugar das 15 a 16 em dupla precisão), viabilizada pelo package Rmpfr do R. Esse procedimento possibilitou a obtenção de uma estimativa para \(\pi\) correta nas primeiras 20 decimais. O objetivo do trabalho é somente didático e certamente não teve qualquer intenção de quebrar o record atual, que em 2014 já superava 13 trilhões de dígitos. Apesar desse método geométrico ser atrativo, há hoje outros métodos mais eficientes que levam à mais rápida convergência.

Como exercício desenvolva um processo similar para obtenção de limite superior.

Limite inferior para \(\pi\) por hexágono inscrito

Considere a figura a seguir, contendo um polígono regular com 6 faces (hexágono) inscrito num círculo com raio com dimensão 1.

figura PI

Fig 1: Hexágono inscrito em círculo

Pela geometria da Fig 1, podemos concluir que o perímetro do círculo \(P_c\) será dado por:

\(P_c=2\pi.\)

Se \(P_h\) representa o perímetro do hexágono, pode-se concluir facilmente que \(P_h<P_c\), dado que o menor caminho entre dos pontos é uma reta. Observando o triângulo isóceles formado pelo segmento do polígono representado na figura, tem-se que \(P_h=6\), e que, pela primeira equação

\(3<\pi.\)

Mas esse limite inferior pode ser melhorado, usando em lugar do hexágono, um polígono regular inscrito de 12 lados (dodecágono).

Limite inferior para \(\pi\) por dodecágono inscrito

Considere a Fig 2 a seguir, construida a partir da anterior, em que se observa 2 lados de um polígono regular de 12 faces (dodecágono), obtidos a partir da biseção do ângulo de 60 graus do segmento do hexágono. Na figura, \(s_1\) representa o lado do hexágono e \(s_2\) o lado do dodecágono.

figura PI

Fig 2: Construindo o dodecágono inscrito

Para obter \(s_2\), o comprimento do lado do dodecágono, podemos inicialmente solucionar o valor de \(h\) por Pitágoras e, a seguir, o valor de \(b\) observando que \(h+b=1\), pela geometria da figura. Conhecendo-se \(b\), é possível, também por Pitágoras, obter o valor de \(s_2\) facilmente. Esses passos são sumarizados a seguir:

\(h=\sqrt{1^2-s_1^2/4}\) (Pitágoras)
\(b=1-h=1-\sqrt{1-s_1^2/4}\)
\(s_2=\sqrt{b^2+s_1^2/4}\) (Pitágoras)
\(s_2=\sqrt{\big(1-\sqrt{1-s_1^2/4}\big)^2+s_1^2/4}\) pela substituição de \(b\) na equação anterior.

Após as devidas simplificações chega-se a

\(s_2=\sqrt{2-\sqrt{4-s_1^2}}\)

O perímetro do dodecágono será então definido por:

\(P_d=12 \times s_2 < 2\pi\)

Ou, utilizando o R para os cálculos, lembrando que \(s_1=1\), obtemos

s1<-1
s2<-sqrt(2-sqrt(4-s1^2))
Pd<-12*s2
cat("Pd/2 = ",Pd/2)

## Pd/2 =  3.105829

Concluindo-se então um novo (e melhor) limite inferior para \(\pi\):

3.1058285 \(< \pi\).

Melhores limites com polígonos de mais lados

O mesmo argumento utilizado na Fig 2 para a construção do dodecágono a partir do hexágono pode ser repetido para construção de um polígono regular inscrito de 24 faces a partir do dodecágono, e assim sucessivamente, dobrando-se a cada passo o número de faces (48, 96, 192 … ).

Para facilitar a construção, considere a sequência de polígonos regulares internos caracterizados pelo índice \(t=1,2,\ldots,\) em que o número de lados \(L_t\) é definido por * \(L_t=3\times 2^t\) Com essa definição \(t=1\) corresponde ao hexágono, \(t=2\) ao dodecágono e assim sucessivamente, dobrando-se o número de lados, na medida que \(t\) cresce uma unidade. E utilizando o mesmo argumento usado no ultimo tópico, recursivamente, podemos concluir que

\(s_{t+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_t^2}}\)

com \(s_1=1\) correspondendo ao lado do hexágono.

Se \(s_t\) e \(P_t\) representam, respectivamente, o comprimento do lado do polígono \(t\), tem-se

\(P_t=3\times 2^t\times s_t,\) em que, para qualquer \(t\), \(P_t<2\pi\).

Usando a equação em diferença acima, partindo de \(t=1\) podemos obter limites inferiores para \(\pi\) que sejam arbitrariamente melhores. A função do R definida a seguir possibilita a obtenção do limite inferior para \(\pi\) para \(t=n\), com fundamento nos argumentos desenvolvidos:

acha_liminf<-function(n){
  s<-1
  for(i in 1:n){
    L<-3*2^i
    p<-L*s
    cat(sprintf("t= %2i Lados: %10.0f Lim inf: %0.17f dif %0.17f \n",i,L,p/2,pi-p/2))
    s<-sqrt(2-sqrt(4-s^2))
  }    
}

Testando a função definida acima com \(t=5\), correspondente ao polígono de 96 faces, computamos o limite inferior obtido por Arquimedes por

acha_liminf(5)

## t=  1 Lados:          6 Lim inf: 3.00000000000000000 dif 0.14159265358979312 
## t=  2 Lados:         12 Lim inf: 3.10582854123024976 dif 0.03576411235954335 
## t=  3 Lados:         24 Lim inf: 3.13262861328123687 dif 0.00896404030855624 
## t=  4 Lados:         48 Lim inf: 3.13935020304687207 dif 0.00224245054292105 
## t=  5 Lados:         96 Lim inf: 3.14103195089052978 dif 0.00056070269926334

A função mostra, além do valor computado para o limite inferior, a cada passo, a diferença entre esse valor e o valor de \(pi\) definido internamente pelo R, através da constante \(pi\).

Problemas numéricos com os valores computados

Se usarmos aumentarmos arbitrariamente \(t\) no procedimento apresentado no ultimo parágrafo, observa-se, a partir de um certo ponto (\(t=16\)), que os valores obtidos para o limite indicam alguma anomalia no processo computacional.

acha_liminf(25)

## t=  1 Lados:          6 Lim inf: 3.00000000000000000 dif 0.14159265358979312 
## t=  2 Lados:         12 Lim inf: 3.10582854123024976 dif 0.03576411235954335 
## t=  3 Lados:         24 Lim inf: 3.13262861328123687 dif 0.00896404030855624 
## t=  4 Lados:         48 Lim inf: 3.13935020304687207 dif 0.00224245054292105 
## t=  5 Lados:         96 Lim inf: 3.14103195089052978 dif 0.00056070269926334 
## t=  6 Lados:        192 Lim inf: 3.14145247228534430 dif 0.00014018130444882 
## t=  7 Lados:        384 Lim inf: 3.14155760791162209 dif 0.00003504567817103 
## t=  8 Lados:        768 Lim inf: 3.14158389214893585 dif 0.00000876144085726 
## t=  9 Lados:       1536 Lim inf: 3.14159046323676172 dif 0.00000219035303139 
## t= 10 Lados:       3072 Lim inf: 3.14159210604304828 dif 0.00000054754674483 
## t= 11 Lados:       6144 Lim inf: 3.14159251658815464 dif 0.00000013700163848 
## t= 12 Lados:      12288 Lim inf: 3.14159261864078942 dif 0.00000003494900369 
## t= 13 Lados:      24576 Lim inf: 3.14159264532121574 dif 0.00000000826857738 
## t= 14 Lados:      49152 Lim inf: 3.14159264532121574 dif 0.00000000826857738 
## t= 15 Lados:      98304 Lim inf: 3.14159264532121574 dif 0.00000000826857738 
## t= 16 Lados:     196608 Lim inf: 3.14159264532121574 dif 0.00000000826857738 
## t= 17 Lados:     393216 Lim inf: 3.14159230381173771 dif 0.00000034977805541 
## t= 18 Lados:     786432 Lim inf: 3.14159230381173771 dif 0.00000034977805541 
## t= 19 Lados:    1572864 Lim inf: 3.14158683965504126 dif 0.00000581393475185 
## t= 20 Lados:    3145728 Lim inf: 3.14158683965504126 dif 0.00000581393475185 
## t= 21 Lados:    6291456 Lim inf: 3.14167426502175751 dif -0.00008161143196439 
## t= 22 Lados:   12582912 Lim inf: 3.14167426502175751 dif -0.00008161143196439 
## t= 23 Lados:   25165824 Lim inf: 3.13747509950278314 dif 0.00411755408700998 
## t= 24 Lados:   50331648 Lim inf: 3.13747509950278314 dif 0.00411755408700998 
## t= 25 Lados:  100663296 Lim inf: 3.18198051533946380 dif -0.04038786174967068

Isso se deve à representação finita dos números pelos computadores, em geral limitada a 15 a 16 digitos significativos, em cálculos envolvendo a chamada precisão dupla, algo que pode trazer dificuldades aos cálculos realizados.

Uma solução possível para o problema pode envolver o uso de recursos do R para cálculos utilizando um número arbitrário de digitos significativos nos cálculos. Isso é implementado pelo package Rmpfr, que deve ser instalado antes de sua utilização.

A seguir apresentamos uma nova versão da função definida anteriormente, que considera cálculos com \(k\) digitos significativos, onde \(k\) é um argumento da função. Usamos na função a constante \(\pi\) definida no package Rmpfr que também pode ser definida com um número arbitrário de digitos significativos, para fazer as comparações. A função mpfr do package define um número com um numero de bits de interesse e esse número de bits é propagado para todos números e operações que dependem desse número. Na função o número de bits é calculado a partir de um número de digitos de interesse \(k\), a partir de recomendações na documentação do package.

acha_liminf2<-function(n,k){
  require(Rmpfr)
  bits<-k*log2(10) #convertendo digitos em bits
  s<-mpfr(1,bits) # s passa a ser um número com k digitos significativos
  p<-mpfr(0,bits)
  novopi<-Const("pi",bits)
  for(i in 1:n){
    L<-3*2^mpfr(i,bits)
    p<-L*s #operação propaga o número de digitos definido para p
    cat(sprintf("t= %2i Lados: %12.0f Lim inf: %s dif: %s \n",i,L,format(p/2,24),format(novopi-p/2,24)))
    s<-sqrt(2-sqrt(4-s^2))
  }    
}

Testamos a seguir a nova função considerando 100 digitos significativos nos cálculos, para obtenção de um limite inferior para \(\pi\) considerando \(t=35\), um polígono regular inscrito com 103079215104 lados. Nesse caso, as decimais de \(\pi\) estão corretas nas primeiras 21 casas decimais.

acha_liminf2(35,100)

## t=  1 Lados:            6 Lim inf: 3.00000000000000000000000 dif: 0.141592653589793238462643 
## t=  2 Lados:           12 Lim inf: 3.10582854123024914818679 dif: 0.0357641123595440902758573 
## t=  3 Lados:           24 Lim inf: 3.13262861328123819716175 dif: 0.00896404030855504130089391 
## t=  4 Lados:           48 Lim inf: 3.13935020304686720713515 dif: 0.00224245054292603132749656 
## t=  5 Lados:           96 Lim inf: 3.14103195089050963811135 dif: 0.000560702699283600351290457 
## t=  6 Lados:          192 Lim inf: 3.14145247228546207545061 dif: 0.000140181304331163012034074 
## t=  7 Lados:          384 Lim inf: 3.14155760791185764551646 dif: 3.50456779355929461800381e-5 
## t=  8 Lados:          768 Lim inf: 3.14158389214831840866897 dif: 8.76144147482979367377956e-6 
## t=  9 Lados:         1536 Lim inf: 3.14159046322805009573846 dif: 2.19036174314272418487735e-6 
## t= 10 Lados:         3072 Lim inf: 3.14159210599927155054478 dif: 5.47590521687917866742669e-7 
## t= 11 Lados:         6144 Lim inf: 3.14159251669215744759287 dif: 1.36897635790869769298511e-7 
## t= 12 Lados:        12288 Lim inf: 3.14159261936538395518955 dif: 3.42244092832730940712142e-8 
## t= 13 Lados:        24576 Lim inf: 3.14159264503369089667214 dif: 8.55610234179050187436026e-9 
## t= 14 Lados:        49152 Lim inf: 3.14159265145076765170425 dif: 2.13902558675838974278728e-9 
## t= 15 Lados:        98304 Lim inf: 3.14159265305503684169112 dif: 5.34756396771520202864029e-10 
## t= 16 Lados:       196608 Lim inf: 3.14159265345610413926464 dif: 1.33689099198000223664425e-10 
## t= 17 Lados:       393216 Lim inf: 3.14159265355637096366282 dif: 3.34222747998200667253895e-11 
## t= 18 Lados:       786432 Lim inf: 3.14159265358143766976267 dif: 8.35556869997501735692771e-12 
## t= 19 Lados:      1572864 Lim inf: 3.14159265358770434628765 dif: 2.08889217499500438145570e-12 
## t= 20 Lados:      3145728 Lim inf: 3.14159265358927101541889 dif: 5.22223043748829223002910e-13 
## t= 21 Lados:      6291456 Lim inf: 3.14159265358966268270171 dif: 1.30555760937212188728164e-13 
## t= 22 Lados:     12582912 Lim inf: 3.14159265358976059952241 dif: 3.26389402343033523681308e-14 
## t= 23 Lados:     25165824 Lim inf: 3.14159265358978507872758 dif: 8.15973505857585716616332e-15 
## t= 24 Lados:     50331648 Lim inf: 3.14159265358979119852888 dif: 2.03993376464396548367399e-15 
## t= 25 Lados:    100663296 Lim inf: 3.14159265358979272847920 dif: 5.09983441160991445426821e-16 
## t= 26 Lados:    201326592 Lim inf: 3.14159265358979311096678 dif: 1.27495860290247866013475e-16 
## t= 27 Lados:    402653184 Lim inf: 3.14159265358979320658868 dif: 3.18739650725619667944170e-17 
## t= 28 Lados:    805306368 Lim inf: 3.14159265358979323049415 dif: 7.96849126814049171679476e-18 
## t= 29 Lados:   1610612736 Lim inf: 3.14159265358979323647052 dif: 1.99212281703512293033560e-18 
## t= 30 Lados:   3221225472 Lim inf: 3.14159265358979323796461 dif: 4.98030704258780732654956e-19 
## t= 31 Lados:   6442450944 Lim inf: 3.14159265358979323833814 dif: 1.24507676064695183168180e-19 
## t= 32 Lados:  12884901888 Lim inf: 3.14159265358979323843152 dif: 3.11269190161737957923226e-20 
## t= 33 Lados:  25769803776 Lim inf: 3.14159265358979323845486 dif: 7.78172975404344894809799e-21 
## t= 34 Lados:  51539607552 Lim inf: 3.14159265358979323846070 dif: 1.94543243851086223702558e-21 
## t= 35 Lados: 103079215104 Lim inf: 3.14159265358979323846216 dif: 4.86358109627715559256463e-22

Obtenção de estimativa para \(\pi\) por geometria básica

Adriano Azevedo Filho

2 de março 2015

Introdução

Limite inferior para \(\pi\) por hexágono inscrito

Limite inferior para \(\pi\) por dodecágono inscrito

Melhores limites com polígonos de mais lados

Problemas numéricos com os valores computados