Nota sobre Funções Homogêneas e Funções Homotéticas

Prof. Adriano Azevedo Filho (azevedofilho@usp.br)

Conteúdo

 1 - Função homogênea de grau k
 
 2 - Função homotética
 
 3 - Sintese
 

1 - Função homogênea de grau k

Definição 1 (Função Homogênea de grau k): Toda função \(\Re^2\rightarrow \Re: f(x,y)\) é dita homogênea de grau k se e somente se:

• \(f(t\ x,t\ y)=t^k f(x,y)\), \(\forall t>0\)

Ex. A função \(f(x,y)=x^\alpha y^\beta\) é homogênea de grau \(\alpha+\beta\) dado que:

• \(f(t\ x,t\ y)=(t x)^\alpha(t y)^\beta=t^{\alpha+\beta} x^\alpha y^\beta =t^{\alpha+\beta} f(x,y)\)

Nota: a definição pode ser estendida para uma função \(\Re^n\rightarrow \Re: f(\mathbf{x})\) e nesse caso teríamos \(f(t\mathbf{x})=t^k f(\mathbf{x})\), se ela for homogênea de grau k.

Teorema 1 (Derivada Parcial de Função Homogênea): se a função \(\Re^2\rightarrow \Re: f(x,y)\) é homogênea de grau k e \(f_x(x,y)\) e \(f_x(x,y)\) representam as derivadas parciais da função com relação a \(x\) e \(y\) é verdade que:

• \(f_x(x,y)\) e \(f_x(x,y)\) são funções homogêneas de grau \(k-1\).

Prova: Assuma que \(f(x,y)\) é homogênea de grau \(k\). Logo temos:

• \(f(t x,t y)= t^k f(x,y)\) ou \(f(x,y)=\frac{1}{t^k} f(t x,t y).\)

Derivando os dois lados dessa última expressão com relação a \(x\) chegamos a:

• \(f_x(x,y)=\frac{1}{t^k}f_x(t x,t y) t=\frac{1}{t^{k-1}}f_x(t x,t y)\)

De onde se conclui que:

• \(f_x(t x,t y)=t^{k-1}f_x(x,y)\).

O mesmo argumento pode ser utilizado para \(f_y(x,y)\), concluindo-se a prova.

2 - Função homotética

Definição 2 (raio): Define-se por raio que parte da origem passando pelos ponto \((x_0,y_0)\) o conjunto definido por:

• \(\{(\theta x_0,\theta y_0): \theta \geq 0, \theta \in \Re\}\)

Nota: o raio representa todos pontos que correspondem ao alongamento ou contração do vetor \((x_0,y_0)\) resultante da multiplicação desse vetor por \(\theta\).

Teorema 2 (raio): nos pontos \((x,y)\) de um raio que parte da origem passando por um ponto \((x_0,y_0)\) qualquer, a razão \(y/x\) é constante.

Prova: se \((x,y)\) é um ponto qualquer desse raio, então pela definição poderá ser escrito por \((tx_0,t y_0)\), cuja razão é sempre \(y_0/x_0\).

Definição 3 (função homotética): uma função \(\Re^2\rightarrow \Re: f(x,y)\) é dita homotética, se e somente se, em todos os pontos das linhas de nível que interseccionam um dado raio que parte da origem passando por um ponto qualquer \((x_0,y_0)\), temos \(\frac{d\ y}{d\ x}=\alpha\), uma constante, ou seja,

• \(\frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{f_x(\theta x_0,\theta y_0)}{f_y(\theta x_0,\theta y_0)}=\alpha\) (uma constante), para \(\theta \geq 0\).

Ex. a função \(f(x,y)=xy-e^{xy}\) é homotética pois ao longo do raio partindo da origem e passando por \((x_0,y_0)\) temos:

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{f_x(\theta x_0,\theta y_0)}{f_y(\theta x_0,\theta y_0)}=-\frac{\theta y_0-e^{\theta^2x_0y_0}\theta y_0}{\theta x_0-e^{\theta^2 x_0y_0} \theta x_0}\)

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{\theta y_0(1-e^{\theta^2x_0y_0})}{\theta x_0(1-e^{\theta^2 x_0y_0})}=\frac{y_0}{x_0}\)

Nota: observe que a função \(f(x,y)=xy-e^{xy}\) não é homogênea de grau k.

Teorema 2 (função homogênea é homotética): toda função \(\Re^2\rightarrow \Re: f(x,y)\) homogênea de grau k é homotética (o fato da função ser homogênea é condição suficiente para ser homotética).

Prova: Partindo da função\(\ \Re^2\rightarrow \Re: f(x,y)\), homogênea de grau k, temos que, no cruzamento das linhas de nível da função com um raio partindo da origem e passando pelo ponto \((x_0,y_0)\), para \(\theta \geq 0\):

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{f_x(\theta x_0,\theta y_0)}{f_y(\theta x_0,\theta y_0)}.\)

Mas, como a função é homogênea de grau k, sua derivada será homogênea de grau k-1 (Teorema 1). Logo, usando esse resultado na expressão anterior, temos:

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{\theta^{k-1} f_x(x_0, y_0)}{\theta^{k-1} f_y(x_0,y_0)}=-\frac{f_x(x_0, y_0)}{f_y(x_0,y_0)}.\)

Ou seja, a derivada terá o mesmo valor em todos os pontos do raio definido, o que permite concluir que a função é homotética.

Teorema 3 (transformação monotônica de função homogênea é homotética): se \(g(x)\) é uma função monotônica estritamente crescente e \(\Re^2\rightarrow \Re: h(x,y)\) é uma função homogênea de grau k, então \(f(x,y)=g(h(x,y))\) é homotética (condição suficiente para ser homotética).

Prova: partindo das premissas do teorema, considere \(g(x)\) uma função monotônica estritamente crescente, \(h(x,y)\), uma função homogênea de grau k e \(f(x,y)=g(h(x,y))\), uma composição dessas 2 funções. Estamos interessados na derivada \(\frac{d\ y}{d\ x}\) nos pontos do cruzamento das linhas de nível da função com um raio partindo da origem e passando por um ponto qualquer \((x_0,y_0)\). Essa derivada será dada, para \(\theta\geq 0\), por:

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{f_x(\theta x_0,\theta y_0)}{f_y(\theta x_0,\theta y_0)}.\)

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{g´(h(\theta x_0,\theta y_0))h_x(\theta x_0,\theta y_0)}{g´(h(\theta x_0,\theta y_0))h_y(\theta x_0,\theta y_0)}.\)

Fazendo o cancelamento de termos comuns no numerador e denominador, e usando o resultado do Teorema 1, para a derivada parcial de função homogênea de grau k chega-se a:

• \(\displaystyle \frac{d\ y}{d\ x}=-\frac{\theta^{k-1} h_x(x_0, y_0)}{\theta^{k-1} h_y(x_0, y_0)}=\frac{h_x(x_0, y_0)}{h_y(x_0, y_0)}.\)

Ou seja, a derivada é sempre constante ao longo do raio definido, o que permite concluir que a função \(f(x,y)\) é homotética.

Nota: A transformação tem que ser estritamente crescente para evitar regiões de crescimento nulo, o que levaria a derivada \(g´(\cdot)\) eventualmente ser zero nessa região, algo que inviabilizaria a prova. Note que o resultado também valeria para transformações monotônicas estritamente decrescentes, o que não é uma situação usual.

3 - Sintese

Esses resultados permitem afirmar que:

• Toda função homogênea de grau k é homotética

• Toda função \(f(x,y)=g(h(x,y))\), construida pela composição de \(g(x)\), função monotônica estritamente crescente e \(h(x,y)\), função homogênea de grau k, é uma função homotética.

• Há funções homotéticas que não são homogêneas de grau k