[1] 0.1666667+0i 0.1666667+0i 0.1666667+0i 0.1666667+0i 0.1666667+0i [6] 0.1666667+0i

Sammanfattning

Syftet med Laboration 1 är att undersöka egenskaperna hos Markovkedjor. Detta görs genom några praktiska exempel på användning av övergångsmatriser, för att undersöka hur tillstånden utvecklas över tid.

Uppgift 1 - kaffeautomatens tillståndsvektor för olika tider efter start

Automatens övergångsmatris antages defineras av “automata”- matrisen \[ "automata"- matrisen \oint \Pi \mathbf{P} \].

\[ \mathbf{P} : = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5\\ 0 & 0.2 & 0.2 & 0.3& 0 & 0.3 \\ 0 & 0.2 & 0.2 & 0.3 & 0 &0.3 \\ 0 & 0 & 0.3 & 0.5 & 0 & 0.2\\ 0 & 0 & 0 &0.4 & 0.6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} \]

1.1 Analysen startar på måndag (dag 1), då fullgod automat-funktion råder (tillstånd 5). Därefter observeras tillstånden efter 3, 7, 14 och 90 dagar.

Tabell 1.1: tillståndsvektorn efter olika lång tid efter start. Start i tillstånd 5.
Tid Tillstånd 0 Tillstånd 1 Tillstånd 2 Tillstånd 3 Tillstånd 4 Tillstånd 5
p.ons På torsdag 0.0000 0.0000 0.0480 0.2720 0.4320 0.2480
p.7d Om en vecka 0.0027 0.0276 0.1216 0.3153 0.2616 0.2711
p.14d Om två veckor 0.0026 0.0259 0.1165 0.3109 0.2723 0.2719
p.90d Om tre månader 0.0026 0.0259 0.1166 0.3109 0.2720 0.2720

1.2 Analysen startar på måndag (dag 1), då maskinen befinnner sig i tillstånd 3.

Tabell 1.2: tillståndsvektorn efter olika lång tid efter start. Start i tillstånd 3
Tid Tillstånd 0 Tillstånd 1 Tillstånd 2 Tillstånd 3 Tillstånd 4 Tillstånd 5
p.ons På torsdag 0.0060 0.0480 0.1440 0.2890 0.1720 0.3410
p.7d Om en vecka 0.0024 0.0245 0.1139 0.3109 0.2799 0.2685
p.14d Om två veckor 0.0026 0.0259 0.1166 0.3108 0.2719 0.2722
p.90d Om tre månader 0.0026 0.0259 0.1166 0.3109 0.2720 0.2720

Kommentar: enligt ovanstående Tabell 1.1 och 1.2, verkar samtliga tillstånd (0 t.o.m. 5) konvergera mot ett för respektive tillstånd bestämt gränsvärde, olika för de olika tillstånden, och oberoende av valt starttillstånd (startdag). Efter tre månader (91 iterationer/dagar) kan för några tillstånd fyra siffrors noggrannhet noteras.

Uppgift 2 - undersök konvergensen hos övergångsmatris P

2a Konvergens, med angiven noggranhet

2b Räkna ut Markovkedjans stationära fördelning

Metod enligt Ross S M, Introduction to Probability Models, 11th Ed, Theorem 4.1, s 206. Resultatet blir identiskt lika med det som fås från uppgift 1a.

\[ \Pi := (I- P^{T})^{-1} \]

MK stationära fördelning \[ \Pi = \]

{ 0.002591 0.02591 0.1166 0.3109 0.272 0.272 }

Uppgift 3 - beräkna statistik över medeluppehållstiden i maskinens tillstånd under ett år

Uppgift 4 - beräkna sannolikhet

Vad är slh att maskinen i går var i tillstånd 1, om maskinen idag är i tillstånd 5?