14 de Febrero de 2017

Probabilidad Condicional

La siguiente ecuación:

\[P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Puede también ser expresada en los términos de probabilidad condicional secuencial: \[P(A\cap B) = P(A/B)*P(B)\] Siempre y cuando \(P(B)>0\)

Si los posibles resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia entonces: \[P(A/B) = \frac{\text{No. de elementos en } A\cap B}{\text{No. de elementos en }B}\]

Importante:
El conjunto universo en la probabilidad condicional (dado un evento anterior) cambia de \(\Omega\) al subconjunto \(B\).

Ejemplos:

• Considerar el lanzamiento de 2 dados:

\[A = \{\text{la suma es}\geq 8 \space y \space \leq 10\}\] \[B = \{\text{el dado 1}=6 \} \therefore P(B) = \frac {1}{6}\]
Recordando los conceptos de combinaciones: \(C = n^m\) cuando \(n\) es el número de posibles resultados y \(m\), el número de experimentos. para éste ejemplo en particular las combinaciones posibles son \(6^2 = 36\), entonces: \[P(A\cap B) = \frac {3}{36} \therefore P(A/B) = \frac {\frac {3}{36}}{\frac {1}{6}} = \frac {18}{36} = \frac {1}{2}\] Es importante que la probabilidad condicional es mayor a la probabilidad independiente de previos eventos, porque el universo en la condicional disminuye de \(\Omega\) a un subconjunto, en éste caso \(B\).

• La probabilidad de que, al lanzar los dados del ejemplo anterior, la suma sea \(\geq 8\) y \(\leq 10\) ó \(A = \{\geq 8 \space y \space \leq 10\}.\)

  A ésta probabilidad la denotaremos como \(P(A)\), al realizar el experimento manual obtenemos la siguiente imagen:
  

  
  

  Se puede observar que se han indicado las combinaciones que cumplen con una suma \(\geq 8\) y \(\leq 10\) ó \(A = \{\geq 8 \space y \space \leq 10\}\).

  Por lo tanto: \[P(A) = \frac {12}{36} = \frac {1}{3}\].

  Otra manera de entender éste concepto es visualizarlo a través de una matriz:

  

Con la visualización, es sencillo llegar a la conclusión \(A = \frac {12}{36} = \frac {1}{3}\)

• En el lanzamiento sucesivo de 3 monedas, queremos saber la probabilidad condicional, \(P(A/B)\), cuando \(A\) y \(B\) son los eventos: \[A = \{\text{aparecen más soles que águilas}\}\] \[B = \{\text{el primer lanzamiento cae sol}\}\] La visualización de todas las posibilidades de éste fenómeno se puede apreciar en la siguiente figura:

Derivado del árbol en la imagen se pueden determinar las probabilidades de los siguientes subconjuntos: \[P(A) = \{\text{sss, ssa, sas, ass }\} = \frac {4}{8} = \frac {1}{2}\]

\[P(B) = \{\text{sss, ssa, sas, saa}\} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\] \[P(A\cap B) = \{\text{sss, ssa, sas}\} = \frac{3}{8}\]

\[\therefore\] \[P(A/B) = \frac {P(A\cap B)}{P(B)} = \frac {\frac {3}{8}}{\frac {1}{2}} = \frac {6}{8} = \frac {3}{4}\]
Nótese el la mayor probabilidad de \(P(A/B)\) dado que el universo pasó de ser \(\Omega\) al subconjunto \(B\).

Repaso de combinaciones y permutaciones

La cantidad total de combinaciones posibles en un experimento se puede calcular como \(n^m\) donde: \[n = \text{posibles resutlados}\] \[m = \text{# de experimentos a realizar}\]

• Cuando de un número de combinaciones se elige una muestra \(r\) y el orden en el que éstas se elige no importa (combinaciones): \[P = \left( \begin{array}{c} n \\ r \end{array} \right) = \frac {n!}{r!(n-r)!}\]

• Cuando de un numero de combinaciones se elige una muestra \(r\) y el orden en el que ésta se elige SI importa (permutaciones): \[P = \left( \begin{array}{c} n \\ r \end{array} \right) = \frac {n!}{(n-r)!}\]

Ejemplo:

Al lanzar 8 dados, ¿cuántas combinaciones diferentes son posibles? \[C = 6^8\] PENDIENTE REVISAR- Si elijo el resultado de 2 dados de los 8 lanzados, ¿de cuántas maneras distintas los puedo elegir?:

\[P = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) = \frac {n!}{r!(n-r)!}\]

Siempre y cuando \(A_1\) y \(A_2\) sean eventos disjuntos (\(P(A_1\cap A_2) = \emptyset\)) podemos entonces decir que:

\[P = (A_1 \cap A_2 \vert B) = \frac {P(A_1 \cap B)}{P(B)}+ \frac {P(A_2 \cap B)}{P(B)} = P(A_1/B) + P(A_2/B)\]

Ejemplo

Tomando datos del experimento anterior con monedas:

\[A_1 = \{\text{aparecen más soles que águilas}\} = \{\text{sss, ssa, sas, ass}\}\] \[A_2 = \{\text{aparecen más águilas que soles}\} = \{\text{ssa, asa, aas, aaa}\}\] \[B = \{\text{el primer lanzamiento es sol}\} = \{\text{sss, ssa, sas, saa}\}\] \[A_1 \cap A_2 = \{\emptyset\}\] \[\therefore\] \[P(A_1) = \frac {4}{8} = \frac {1}{4}\space \& \space P(A_2) = \frac {4}{8} = \frac {1}{4}\] \[P(A_1\cap B) = \frac{3}{8}\] \[P(A_2\cap B) = \frac{1}{8}\] \[P(A_1\cup A_2\vert B) = \frac {\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{8} + \frac{2}{8} = 1\] \[P(A_1\cup A_2\vert B) = 1 \space \therefore\] \[P(A_1\cup A_2...\cup A_i \vert B) = P(A_1/B) + P(A_2/B)+...+ P(A_i/B)\] Siempre y cuando \(\{A_1\cap A_2...\cap A_i\}= \emptyset\).

Independencia

Si: \[P(A\cap B) = P(A)*P(B)\] Se dice que \(A\) y \(B\) son eventos independientes. Distinto a ser eventos disjuntos: \(P(A\cap B) = \emptyset\).
Entonces, asumiendo independencia obetnemos:

\[P(A/B) = \frac {P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A)\]

La ecuación anterior demuestra que, los eventos independientes no afectan la probabilidad uno del otro.