• Obter informções acerca da população com base nos elementos de uma amostra.

• Pode ser feita através de duas técnicas:
  • Estimação: determinaçao de estimativas dos parâmetros populaicionais;
  • Teste de Hipóteses: tomada de decisão relativa ao valor de um parâmetro populacional.

• Intervalo determinado a partir de elementos amostrais, que se espera que contenham o valor de um determinado parâmetro com nível de confiança (1 - \(\alpha\))
• Quanto menor for o comprimento do intervalo, maior será a sua precisão

• \(z_{i} = \frac{\bar{x_{i}}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)

• \(P\left ( -z_{\frac{\alpha}{2}} < z < z_{\frac{\alpha}{2}} \right ) = 1 - \alpha\)

\[P\left (-z_{\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar{x_{i}}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha}{2}} \right )\]

\[P\left ( \bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ) = 1 - \alpha\] \(\bar{x}\): é a média amostral

\(\sigma\): é o desvio padrão da população

\(n\): é o tamanho da amostra

• \(t = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\) ; com (n-1) graus de liberdade

• \(P\left (-t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)} < t < t_{\frac{\alpha}{2},} \right ) = 1 - \alpha\)

\[P\left ( -t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)} < \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} < t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)} \right )\]

\[P\left ( \bar{x}-t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)}.\frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x}+t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)}.\frac{s}{\sqrt{n}} \right ) = 1 - \alpha\] \(\bar{x}\): é a média amostral

\(s\): é o desvio padrão da amostra

\(n\): é o tamanho da amostra

• Quando se quer estimar a diferença, \(\mu_{1} - \mu_{2}\), entre as médias de duas populações
• Se o intervalo não contém o valor zero, concluimos que há diferença significativa entre as médias das duas médias

Para desvios padrões populacionais conhecidos:

\[P\left ( (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-z_{\frac{\alpha}{2}}.\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}}\leq \mu_{1}-\mu{2} \leq (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+z_{\frac{\alpha}{2}}.\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^2}{n_{2}}} \right ) = 1 - \alpha\]

Para desvios padrões populacionais desconhecidos:

\[P\left ( (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)}.s.\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}\leq \mu_{1}-\mu{2} \leq (\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)}.s.\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} \right ) = 1 - \alpha\] onde, \(s = \sqrt{\frac{(n_{1}-1).s_{1}^2+(n_{2}-1).s_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}}\)

• Admite-se um valor hipotético para um parâmetro populacional e com base nas informações da amostra realizaremos um teste estatístico, para aceitar ou rejeitar o valor hipotético
• Como a decisão para aceitar ou rejeitar a hipótese será tomada de acordo com elementos de uma amostra, fica evidente que a decisão estará sujeita a erros

Tipos de Hipóteses:

• Hipótese nula \((H_{0})\): hipótese a ser testada
• Hipótese alternativa \((H_{1})\): hipótese alternativa à hipótese nula

Tipos de Erros:

• Tipo I: Rejeitar \(H_{0}\) quando ele for verdadeiro
• Tipo II: Aceitar \(H_{0}\) quando ele for falso

A faixa de valores da variável de teste que leve a rejeição de \(H_{0}\) é denominada de Região Crítica. A faixa restante constituiu a Região de Aceitação.

Dados:

• Média populacional\((\mu)\) = 50
• Desvio padrão populacional\((\sigma)\) = 4
• Número de amostras\((n)\) = 25
• Nivel de confiabilidade\((\alpha)\) = 5%

Temos,

\(\alpha = 0,05\), assim a probabilidade será \(0,5 - 0,05 = 0,450\)

Verificando o valor de \(z\) na Tabela encontramos \(z_{0,05}\) é \(-1,645\)

Substituindo os valores na fómula, temos:

\[z = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\bar{x}-50}{\frac{4}{\sqrt{25}}}=48,684\]

Portanto, se o valor observado pela média da amostra \(\bar{x}\) for inferior a \(48,684\), rejeitamos a hipótese nula \((H_{0})\) ao nível \(\alpha = 5\)% de significância.

1 - Enunciar as hipóteses \(H_{0}\) e \(H_{1}\)

2 - Fixar o nível de significância \((\alpha)\)

3 - Com o auxílio das Tabelas e do \(\alpha\), determinar a região crítica e a região de aceitação

4 - Com os elementos amostrais, calcular o valor da variável do teste \((z\) ou \(t)\)

5 - Concluir pela aceitação ou rejeição de \(H_{0}\) comparando o valor obtido no passo 4 com as regiões crítica e de aceitação

Passo1 : \(H_{0} : \mu = \mu_{0}\) e

1. \(H_{1} : \mu \neq \mu_{0}\)
2. \(H_{1} : \mu > \mu_{0}\)
3. \(H_{1} : \mu < \mu_{0}\)

Passo2 : Fixar \(\alpha\).

1. Se \(\sigma\) for conhecido \(\rightarrow\) utiliza-se a tabela \(z\)

2. Se \(\sigma\) for desconhecido \(\rightarrow\) utiliza-se a tabela \(t\)

Passo3 : Tabela \((z\) ou \(t)\)

1. \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) ou \(t_{\frac{\alpha}{2},(n-1)}\)
2. \(z_{\alpha}\) ou \(t_{\alpha}\)
3. \(z_{\alpha}\) ou \(t_{\alpha}\)

Passo4 : Substituir

\[z = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\] ou \[t = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

Passo5 : Rejeita-se \(H_{0}\) se:

1. \(\left | z \right | > z_{\frac{\alpha}{2}}\)
2. \(z > z_{\alpha}\)
3. \(z < z_{\alpha}\)

idem para \(t\)

• Teste de Hipótese

  1. \(H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}\) (\(\Delta\) = 0)
  2. \(H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}\) (testes unicaudais são permitidos)

• Fixar \(\alpha\)

• Calcula-se: \(z = \frac{(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-\Delta}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^2}{n_{1}}+\sigma_{2}^2}{n_{2}}}\)

• Conclusão: Se \(\left | z \right | > z_{\frac{\alpha}{2}}\), rejeita \(H_{0}\)

• Teste de Hipótese

  1. \(H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}\) (\(\Delta\) = 0)
  2. \(H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}\) (testes unicaudais são permitidos)

• Fixar \(\alpha\)

• Calcula-se: \(t = \frac{(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-\Delta}{s.\sqrt{\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}.n_{2}}}}\) onde, \(s = \sqrt{\frac{(n_{1}-1).s_{1}^2+(n_{2}-1).s_{2}^2}{N_{1}+n_{2}-2}}\)

• Conclusão: Se \(\left | t \right | > t_{\frac{\alpha}{2}}\), rejeita \(H_{0}\)

\[y_{i}=\alpha+\beta.x_{i}+\varepsilon _{i}\] \(\alpha\): é o intercpto da reta

\(\beta\): é a inclinação da reta

\(\varepsilon\): é o erro aleatório de \(y\) para a observação \(i\)

• Minimizar o erro \((Y_{real} - y_{previsto})\)
• A soma de todos os erros é zero

Regressão: \(\bar{y} = a + b.\bar{x}\)

onde,

\[b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}\] e \[a = \bar{y} - b.\bar{x}\] sendo,

\(S_{xy}=\sum xy - \frac{\sum x.\sum y}{n}\) \(S_{xx}=\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}\)

\(\bar{x}=\frac{\sum x}{n}\) \(\bar{y}=\frac{\sum y}{n}\)

\[r_{xy}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xy}.S_{yy}}}\]

\[S_{yy}=\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n}\]

\[y_{i}=\alpha+\beta_{1}.x_{i}+\beta_{2}.x_{2}+...+\beta_{k}.x_{k}+\varepsilon_{i}\] \(y_{i}\): é a variável dependente

\(x_{i}\): é a variável independente

\(\beta_{i}\): é a determinação da contribuição da variável dependente \(x_{i}\)

\(\varepsilon_{i}\): é o erro aleatório de \(y\) para a observação \(i\)

1. CARREGANDO O BANCO DE DADOS
   • loja = read.delim2(file.choose())

2. ESTUDO DA CORRELAÇÃO LINEAR ENTRE AS VARIÁVEIS

   2.1) Análise com base no índice de correlação
   • cor(loja)
   2.2) Análise com base nos gráficos de dispersão
   • plot(loja$ Y ~ loja$X1, type = "b", pch = 22)
   • plot(loja$ Y ~ loja$X2, type = "b", pch = 22)
   • plot(loja$ Y ~ log(loja$X3), type = "b", pch = 22)

1. CONSTRUÇÃO DOS MODELOS

   3.1) Construa inicialmente um modelo contendo todas as variáveis preditoras
   • a = lm(loja$ Y ~ loja$ X1 + loja$ X2 + loja$ X3)
   • summary(a)
   3.2) Construa outro modelo utilizando apenas as variáveis indicadas pelo método
   • b = lm(loja$ Y ~ loja$ X1 + loja$ X2)
   • summary(b)

1. ANÁLISES ADICIONAIS

   4.1) Análise dos valores preditos
   • loja$ predito = b$ fitted.values
   • plot(loja$ predito ~ loja$ Y, type = "p", pch = 22)
2. ANÁLISE DOS RESÍDUOS (testando a normalidade dos residuos)
   • hist(b$ residuals)
   • shapiro.test(b$ residuals)
     • Teste de hipotese para normalidade, onde a hipotese nula é a propria normalidade.