8 de Febrero 2017

Modelos De Probabilidad

Buscan proveer certidumbre o reducir incertidumbre.

Elementos de un Modelo de Probabilidad

• El espacio muestral (\(\Omega\)): Entendido como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
• Ley de probabilidad, la cual asigna a un conjunto \(A\) de posibles resultados (llamdo también evento) un número no-negativo (\(P(A) = (\text{la probabilidad de A})\)) que codifica nuestro conocimiento o creencia sobre la probabilidad de los elementos de \(A\).

Axiomas de Probabilidad

1. No negatividad
   Para cada uno de los eventos en \(A\): \(P(A) \geq 0\)
2. Adición
   Si \(A\) y \(B\) son dos eventos disjuntos, entonces la posibilidad de su unión satisface:
   
   \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)\)
   ó
   \(P(A_1\cup A_2 \cup ...A_n) = P(A_1) + P(A_2)+...P(A_n)\)
3. Normalización
   La probabilidad del copmleto (entire) espacio muestral \(\Omega\) es \(1\), esto es \(P(\Omega) = 1\).

Ojo: Los eventos del espacio muestral deben ser eventos mutuamente excluyentes, osea que no puedan suceder simultaneamente.

Ley de Probabilidad Discreta

Probabilidad discreta: Asignar a un evento una probabilidad única (valor).

Si el espacio de probabilidad consiste de un número finito de posibles resultados, entonces la ley de probabilidad se especifica por las probabilidades de cada uno de los eventos. En particular, la probabilidad de cualquier evento. \(\{S_1,S_2,...S_n\}\) es la suma de las probabilidades de sus elementos:
\[P(\{S_1,S_2,...S_n\}) = P(S_1)+P(S_2)+...+P(S_n)\]

Ley de Probabilidad Discreta Uniforme

Si el espacio muestral consiste de \(n\) posibles resultados con igual probabilidad de ocurrencia, entonces la probabilidad de cualquier evneto \(A\), está dada por: \[P(A)= \frac{\text{Número de elementos de A}}{n}\]

Función Densidad de Probabilidad

• También conocida como Probability Density Function (pdf) o Probability Mass Function (pmf).

Para una variable aleatoria o evento discreto, se define como: \[f(x) = P(X=x)\]

Acumulativa pdf (Comulative pdf)

• Se define como la suma de los resultados parcials de los eventos que validan el experimento:

\[cpdf = \sum_{i}(P(x_i=x))\]

Para los \(x_i\) que validan el experimento.