7 de Febrero 2017

Conceptos Generales

• Cuando se tiene un modelo conocido que se asemeja al conjunto de datos, se le llama modelo parametrico. P.ej:

\[\int_{a}^{b} f(x)dx\]

• La robustez del modelo la da el coeficiente de correlacion (\(R^2\)), el cual nos habla de que tanto se parece el modelo a los datos. los valores van de \(0-1\), un valor \(>0.9\) se considera adecuado.
• Cunado los datos no se parecen a un modelo ya conocido, se utilizan los modelos no parametricos.

Teoria de Conjuntos

Definiciones

• Conjunto: Una coleccion de elementos con caracteristicas que comparten entre ellos.

\[A=\text{{1,2,3,4}}\] \[B = \text{{numeros enteros positivos}}\] \[ C = \text{{numeros enteros > 3}} = \text{{4,5,6...}}\] Todos estos tipos de conjuntos se pueden convertir eventualmente en el espacio muestral, por lo tanto la definicion del espacio muestral es vital antes de iniciar procesos de anlalisis.

• Alternativamente, los elementos \(x\) de un conjunto se pueden enunciar de tal manera que cumplan una caracteristica \(P\).

\[\text{{x|x satisface P}}\]

En esta notacion, el simbolo \(|\) se interpreta como: “tal que”.

Otro ejemplo con esta notacion:

\[ E = \{x|x \space numero\space entero\space 4 \leq x \leq 10\}\]

• Pertenece a (\(\in\)):

Tomando el ejemplo anterior, podemos decir que \(x = 5 \in E\).

• No pertenece a (\(\notin\))

Tomando el ejemplo anterior podemos decir que \(x = 11 \notin E\)

• Subconjunto (\(\subset\))

Cuando todos los elementos del conjunto \(A\) estan incluidos en el conjunto \(B\) (\(A \subset B\))

• Complemento (\(^c\))

El complemento de un conjunto \(S\), con respecto al conjunto universo (\(\Omega\)), otros autores utilizan \(U\), es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a \(S\), y se denota como \(S^c\).
Es importante recordar que \(\Omega^c = \emptyset\) donde \(\emptyset\) es el conjunto vacio.

• Union (\(\cup\))

\[S \cup T = \{x|x \in or\space x\in T\}\]

• Intereseccion (\(\cap\))

\[S \cap T = \{x|x \in S\space y \space x \in T \} \]

Por lo tanto:

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}= S_1 \cup S_2 \cup ...= \{ x|x \in S_n para \space alguna\space n\} \] Donde \(para\space S_n = \space un \space entero \space positivo\).

\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} = S_1 \cap S_2 \cap ... = \{ x|x \in S_n \space para \space alguna \space n\}\]

Conjuntos Disjuntos

• Son aquellos cuya interseccion (\(\cap\)) es el conjunto vacio (\(\emptyset\)).
• No se intersectan.

\[S \cap T = \{ \emptyset\}\] La probabilidad del conjunto vacio no es igual a \(\emptyset\), por lo tanto habra que calcularla en cada caso.

Particion:

Una coleccion de conjuntos se dice que es una particion de un conjunto \(S\) si los conjuntos en la coleccion son disjuntos y su union es \(S\).

\[S = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\] \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{4,5,6,7,8\}\) y \(C = \{\emptyset\}\)

Ojo: simpre considerar la probabilidad del conjunto vacio, siempre existe.

• Si \(x\) y \(y\) son 2 objetos \((x,y)\) para describir un par ordenado, por ejemplo, numeros reales \(R\), el conjunto de pares (o tripleta) de escalares se puede escribir como \(R^2\) y \(R^3\), respectivamente.

Diagramas de Venn

\(A \cap B\)

\(A\cup B\)

\(A^c \cap B\)

\(\text{Conjuntos Disjuntos}\)

\(S,T,\space y \space V \space son \space una \space particion \space de \space \Omega\)

Algebra de Conjuntos

Propiedad asociativa ???? \[S \cup T = T \cup S\] \[S \cap (T \cup V) = (S \cap T) \cup (S \cap V)\] \[(S^c)^c = S\] \[S \cup \Omega = \Omega\] Propiedad Distributiva????

\[S \cup (T \cup V) = (S \cup T)\cup V\] \[S \cup (T \cap V) = (S \cup T)\cap (S \cap V)\] \[S \cap S^c = \emptyset\] \[S \cap \Omega = S\]

Leyes de Morgan

Considerar las siguentes notaciones:

\((\bigcup_{n}^{}S_n)^c = \bigcap_{n}^{}{S_n}^c\)

\((\bigcap S_n)^2 = \bigcup_{n}^{}{S_n}^c\)

*Notar como cambian de \(\cup\) a \(\cap\) y viceversa, en estas leyes.