Cadena de rachas de éxitos

Sea \(ξ1, ξ2,...\) una sucesión de ensayos independientes Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\), y probabilidad de fracaso \(q=1-p\). Sea \(X_n\) el número de éxitos consecutivos previos al tiempo \(n\), incluyendo el tiempo \(n\). Se dice que una racha de éxitos de longitud \(r\) ocurre al tiempo \(n\) si en el ensayo \(n-r\) se obtiene un fracaso y los resultados de los ensayos \(n-r+1\) al \(n\) son todos éxitos.

La colección de variables aleatorias \(\{X_n : n = 1, 2,...\}\) es una cadena de Markov con espacio de estados \(\{0, 1,...\}\) . Las probabilidades de transición siguientes:

\[ p_{ij} = \begin{cases} p & \text{si }j=i+1\\ q & \text{si }j=0\\ 0 & \text{otro caso}\\ \end{cases} \]

Simulación

El proceso estocástico conviene verlas de las siguiente manera:

\[\begin{equation*} X_{n+1} = \begin{cases} X_{n}+1 & \text{con probabilidad }& p\\ 0 & \text{con probabilidad }&1-p\\ \end{cases} \end{equation*}\]

Así el proceso puede ser fácilmente simulado debido a que \(X_{n+1}\) solo podrá tomar valores entre \(X_n+1\) y \(0\).

La simulación se lleva a cabo con utilizando la función sample, esta función realiza selecciones al azar entre un numero fijo de datos, utiliza 4 argumentos:

Código

El siguiente código simula la trayectoria de rachas hasta \(X_N\) con probabilidad de éxito \(p\).

N<-100 #Numero de simulaciones
p<-.5 #Probabilidad de Éxito
I<-0 #Punto Inicial
X<-rep(I,N+1)
for(i in 1:N){
  X[i+1]<-sample(x=c(X[i]+1,0),size=1,prob=c(p,1-p))    
}

plot(X,main="Simulación proceso de rachas",xlab="t",ylab=expression('X '[t]),type="b")

Tiempo de la primera racha.

Una variable aleatoria de interés en el proceso de rachas es el tiempo que le toma al proceso alcanzar por primera vez una racha de tamaño \(r\), es decir:

\[\tau =min\{n: X_n=r\}\]

Código

La simulación se realiza de forma similar, con la diferencia que el proceso se simulará hasta que \(X_n\) sea igual a \(r\) y se guardara dicha \(n\).

N<-100000 #Numero de simulaciones
r<-2 #Numero de rachas
I<-0 #Punto Inicial
p<-.5 #Probabildiad de Exito

Tau<-rep(0,N)
for(i in 1:N){
  Contar<-0
  Racha<-I
  while(Racha<r){
    Contar<-Contar+1
    Racha<-sample(x=c(Racha+1,0),size=1,prob=c(p,1-p))
  }
  Tau[i]<-Contar
}
summary(Tau)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    2.00    3.00    4.00    5.99    8.00   57.00
barplot(prop.table(table(Tau)),main="Probabilidades Empiricas de Tau")